[1,5 pts] Calcule \iint_{S}(x+y+z) d S onde S é o pedaço do plano 2 x+y+4 z=10 que está no primeiro octante. Sugestão, use sem provar que se \widetilde{S} for uma superfície dada por \vec{r}(u, v)= (u, v, g(u, v)) \operatorname{com}(u, v) \in D \subset \mathbb{R}^{2}, então \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u, v)=\left(-\frac{\partial g}{\partial u}(u, v),-\frac{\partial g}{\partial v}(u, v), 1\right).
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de superfície \iint_{S} (x+y+z)\,dS, onde S é o pedaço do plano 2x+y+4z=10 que está no primeiro octante. Informações dadas:
A superfície S é parte do plano 2x+y+4z=10.
Estamos no primeiro octante, ou seja, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
Devemos integrar a função escalar x+y+z sobre a superfície S.
A sugestão indica usar uma parametrização como gráfico \vec r(u,v)=(u,v,g(u,v)) e a fórmula para o produto vetorial dos vetores tangentes:
Parametrizo S como gráfico da função z=g(x,y). A partir do plano 2x+y+4z=10 isolamos z:
z=g(x,y)=\frac{10-2x-y}{4}.
Então uso a parametrização
\vec r(x,y)=(x,y,g(x,y)),
com (x,y) variando numa região D no plano xy (a projeção de S sobre o plano z=0). Aqui escolhi as coordenadas do plano xy como parâmetros u=x e v=y.
Passo 3
Explico a fórmula que vou usar para transformar a integral sobre a superfície em integral dupla sobre D. Se \vec r(x,y)=(x,y,g(x,y)), então os vetores tangentes são
Esse fator é constante porque o plano tem inclinação constante.
Passo 5
Determino a região D (projeção de S no plano xy). No primeiro octante temos z\ge 0; impondo z=0 na equação do plano obtemos a reta de interseção com o plano z=0:
Com x\ge 0 e y\ge 0 isso dá 0\le x\le 5 (pois se y=0 então 10-2x=0\Rightarrow x=5). Assim D é o triângulo com vértices (0,0),(5,0),(0,10), descrito por
0\le x\le 5,\qquad 0\le y\le 10-2x.
Passo 6
Substituo z=g(x,y) na função integranda x+y+z. Temos