[1,5 pts] Calcule \iint_{S}(x+y+z) d S onde S é o pedaço do plano 2 x+y+4 z=10 que está no primeiro octante. Sugestão, use sem provar que se \widetilde{S} for uma superfície dada por \vec{r}(u, v)= (u, v, g(u, v)) \operatorname{com}(u, v) \in D \subset \mathbb{R}^{2}, então \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u, v)=\left(-\frac{\partial g}{\partial u}(u, v),-\frac{\partial g}{\partial v}(u, v), 1\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície \iint_{S} (x+y+z)\,dS, onde S é o pedaço do plano 2x+y+4z=10 que está no primeiro octante. Informações dadas:
  • A superfície S é parte do plano 2x+y+4z=10.
  • Estamos no primeiro octante, ou seja, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Devemos integrar a função escalar x+y+z sobre a superfície S.
  • A sugestão indica usar uma parametrização como gráfico \vec r(u,v)=(u,v,g(u,v)) e a fórmula para o produto vetorial dos vetores tangentes:
\frac{\partial\vec r}{\partial u}\times\frac{\partial\vec r}{\partial v}=\left(-\frac{\partial g}{\partial u},-\frac{\partial g}{\partial v},1\right).

Passo 2

Parametrizo S como gráfico da função z=g(x,y). A partir do plano 2x+y+4z=10 isolamos z:
z=g(x,y)=\frac{10-2x-y}{4}.
Então uso a parametrização
\vec r(x,y)=(x,y,g(x,y)),
com (x,y) variando numa região D no plano xy (a projeção de S sobre o plano z=0). Aqui escolhi as coordenadas do plano xy como parâmetros u=x e v=y.

Passo 3

Explico a fórmula que vou usar para transformar a integral sobre a superfície em integral dupla sobre D. Se \vec r(x,y)=(x,y,g(x,y)), então os vetores tangentes são
\frac{\partial\vec r}{\partial x}=(1,0,g_x),\qquad \frac{\partial\vec r}{\partial y}=(0,1,g_y),
onde g_x=\frac{\partial g}{\partial x} e g_y=\frac{\partial g}{\partial y}. O produto vetorial desses vetores, segundo a sugestão, é
\frac{\partial\vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}=(-g_x,-g_y,1).
O elemento de área da superfície é dado por
dS=\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}\right\|\,dA =\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Essa fórmula diz: para um gráfico z=g(x,y), o fator de correção da área é \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de g. Da expressão g(x,y)=\dfrac{10-2x-y}{4} temos
g_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{10-2x-y}{4}\right)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},
g_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{10-2x-y}{4}\right)=-\frac{1}{4}.
Logo
1+g_x^{2}+g_y^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2} =1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{21}{16},
portanto
\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{4}.
Esse fator é constante porque o plano tem inclinação constante.

Passo 5

Determino a região D (projeção de S no plano xy). No primeiro octante temos z\ge 0; impondo z=0 na equação do plano obtemos a reta de interseção com o plano z=0:
0=\frac{10-2x-y}{4}\quad\Longrightarrow\quad y=10-2x.
Com x\ge 0 e y\ge 0 isso dá 0\le x\le 5 (pois se y=0 então 10-2x=0\Rightarrow x=5). Assim D é o triângulo com vértices (0,0),(5,0),(0,10), descrito por
0\le x\le 5,\qquad 0\le y\le 10-2x.

Passo 6

Substituo z=g(x,y) na função integranda x+y+z. Temos
x+y+z=x+y+\frac{10-2x-y}{4}.
Faço as contas com calma:
x+y+\frac{10-2x-y}{4}=x+y+\frac{10}{4}-\frac{2x}{4}-\frac{y}{4} =\left(x-\frac{x}{2}\right)+\left(y-\frac{y}{4}\right)+\frac{5}{2}.
Simplificando:
x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2},\qquad y-\frac{y}{4}=\frac{3y}{4},
portanto
x+y+z=\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

Passo 7

Escrevo agora a integral sobre S como integral dupla sobre D:
\iint_{S}(x+y+z)\,dS=\iint_{D}\left(\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}\right)\frac{\sqrt{21}}{4}\,dA =\frac{\sqrt{21}}{4}\iint_{D}\left(\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}\right)\,dA.
Vou calcular a integral dupla \iint_{D}(\cdots)\,dA usando a descrição de D:
\iint_{D}\left(\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}\right)\,dA =\int_{x=0}^{5}\int_{y=0}^{10-2x}\left(\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}\right)dy\,dx.

Passo 8

Calculo cada parte separadamente.
  1. Para \displaystyle \iint_{D}\frac{x}{2}\,dA:
\int_{0}^{5}\int_{0}^{10-2x}\frac{x}{2}\,dy\,dx =\int_{0}^{5}\frac{x}{2}(10-2x)\,dx =\int_{0}^{5}\left(5x-x^{2}\right)dx.
Integro:
\int_{0}^{5}(5x-x^{2})dx=\left[\frac{5}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{5} =\frac{5}{2}\cdot 25-\frac{1}{3}\cdot 125 =\frac{125}{2}-\frac{125}{3}=\frac{125}{6}.
  1. Para \displaystyle \iint_{D}\frac{3y}{4}\,dA:
\int_{0}^{5}\int_{0}^{10-2x}\frac{3y}{4}\,dy\,dx =\int_{0}^{5}\frac{3}{4}\cdot\frac{(10-2x)^{2}}{2}\,dx =\int_{0}^{5}\frac{3}{8}(10-2x)^{2}dx.
Expando e integro:
(10-2x)^{2}=100-40x+4x^{2},
\int_{0}^{5}\frac{3}{8}(100-40x+4x^{2})dx=\frac{3}{8}\left[100x-20x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}\right]_{0}^{5}.
Avalio em x=5:
100\cdot 5-20\cdot 25+\frac{4}{3}\cdot 125=500-500+\frac{500}{3}=\frac{500}{3}.
Multiplicando:
\frac{3}{8}\cdot\frac{500}{3}=\frac{500}{8}=\frac{125}{2}.
  1. Para \displaystyle \iint_{D}\frac{5}{2}\,dA: é a constante vezes a área de D. A área do triângulo D é
\text{Area}(D)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10=25.
Logo
\iint_{D}\frac{5}{2}\,dA=\frac{5}{2}\cdot 25=\frac{125}{2}.

Passo 9

Somando as três partes:
\iint_{D}\left(\frac{x}{2}+\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}\right)dA =\frac{125}{6}+\frac{125}{2}+\frac{125}{2} =\frac{125}{6}+\left(\frac{125}{2}+\frac{125}{2}\right) =\frac{125}{6}+125=\frac{875}{6}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{\sqrt{21}}{4} temos:
\iint_{S}(x+y+z)\,dS=\frac{\sqrt{21}}{4}\cdot\frac{875}{6}=\frac{875\sqrt{21}}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{875\sqrt{21}}{24}

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