[1,5 \mathrm{pt}] Resolva a inequação: \frac{x+1}{3-x}+2>\frac{-x+2}{x+4}
\begin{aligned} & \frac{-x^{2}-x+32}{-x+3}>-x+2 \\\ & x^{2}-x+32 \\\ & -x+3 / 1+\frac{x-2}{1}>0 \\\ & x^{2}-x+3 x+(x-2) \cdot(-x+3) \end{aligned}
-2 x^{2}+x+26>0 -x+3
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Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Resolver a inequação \dfrac{x+1}{3-x}+2>\dfrac{-x+2}{x+4}.
  • Informações importantes (domínio): os denominadores não podem ser zero, então x\neq3 e x\neq-4.
  • A tarefa é transformar essa desigualdade em uma única expressão racional e estudar o sinal dessa expressão para encontrar os x que satisfazem a desigualdade. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o pedido e as condições.

Passo 2

Levar tudo para um único lado para ficar com uma única fração. Vou subtrair o membro direito do esquerdo e colocar sobre o mesmo denominador (3-x)(x+4):
\frac{x+1}{3-x}+2-\frac{-x+2}{x+4}>0.
O denominador comum será (3-x)(x+4). Multiplicando cada termo adequadamente obtemos (mostro cada numerador separado antes de somar):
\text{Numerador 1: }(x+1)(x+4),
\text{Numerador 2 (do }2\text{): }2(3-x)(x+4),
\text{Numerador 3 (subtraído): }-(-x+2)(3-x).í
Então a inequação vira
\frac{(x+1)(x+4)+2(3-x)(x+4)-(-x+2)(3-x)}{(3-x)(x+4)}>0.

Passo 3

Calcular e simplificar o numerador passo a passo (explicando cada multiplicação):
(x+1)(x+4)=x^2+5x+4.
(3-x)(x+4)= -x^2 -x +12 \quad\text{(expansão: }3x+12-x^2-4x=-x^2-x+12\text{)},ã
2(3-x)(x+4)=-2x^2-2x+24.
(-x+2)(3-x)=x^2-5x+6 \quad\text{(expansão direta)}.ã
Como no numerador temos o termo subtraído de (-x+2)(3-x), esse contribui com -\bigl(x^2-5x+6\bigr)=-x^2+5x-6.
Somando tudo:
x^2+5x+4 -2x^2-2x+24 -x^2+5x-6 = -2x^2+8x+22.
Portanto a inequação é
\frac{-2x^2+8x+22}{(3-x)(x+4)}>0.

Passo 4

Fatorar o coeficiente comum e simplificar o sinal. Coloco -2 em evidência no numerador:
\frac{-2\bigl(x^2-4x-11\bigr)}{(3-x)(x+4)}>0.
Como -2<0, posso dividir ambos os lados da desigualdade por -2, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade. Assim obtenho uma inequação equivalente mais simples:
\frac{x^2-4x-11}{(3-x)(x+4)}<0.
(foi “>” original e ao dividir por -2 virou “<”.)

Passo 5

Encontrar as raízes do numerador x^2-4x-11 — elas são pontos onde a expressão pode mudar de sinal. Uso fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot(-11)=16+44=60.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{60}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{15}}{2}=2\pm\sqrt{15}.
Portanto as raízes exatas são \;2-\sqrt{15} e \;2+\sqrt{15}.

Passo 6

Listar todos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) e lembrar de excluir do domínio os zeros do denominador:
  • zeros do numerador: x=2-\sqrt{15} e x=2+\sqrt{15}. Nestes pontos a fração vale 0.
  • zeros do denominador: x=3 (pois 3-x=0) e x=-4 (pois x+4=0). Estes não pertencem ao domínio — devemos excluí-los.
    Ordenando na reta real (valores aproximados para intuição): -\infty,\; -4,\; 2-\sqrt{15}\approx-1,873,\;3,\;2+\sqrt{15}\approx5,873,\;\infty.

Passo 7

Estudo de sinal por intervalos. Para decidir onde a fração é negativa (queremos “<0”) tomo um ponto teste em cada intervalo e avalio o sinal da fração \dfrac{x^2-4x-11}{(3-x)(x+4)}.
  1. Intervalo (-\infty,-4). Testo x=-5:
\text{num} = (-5)^2-4(-5)-11=25+20-11=34>0,
\text{den}=(3-(-5))(-5+4)=8\cdot(-1)=-8<0,
logo a fração é >0/ <0 = <0. Satisfeito.
  1. Intervalo (-4,\,2-\sqrt{15}). Testo x=-2:
\text{num}=4+8-11=1>0,\quad \text{den}=(3-(-2))(-2+4)=5\cdot2=10>0,
fração >0. Não satisfaz.
  1. Intervalo (2-\sqrt{15},\,3). Testo x=0:
\text{num}=0-0-11=-11<0,\quad \text{den}=(3-0)(0+4)=3\cdot4=12>0,
fração <0. Satisfeito.
  1. Intervalo (3,\,2+\sqrt{15}). Testo x=4:
\text{num}=16-16-11=-11<0,\quad \text{den}=(3-4)(4+4)=(-1)\cdot8=-8<0,
fração <0/ <0 = >0. Não satisfaz.
  1. Intervalo (2+\sqrt{15},\,\infty). Testo x=6:
\text{num}=36-24-11=1>0,\quad \text{den}=(3-6)(6+4)=(-3)\cdot10=-30<0,
fração >0/ <0 = <0. Satisfeito.
Lembre que nos pontos x=-4 e x=3 a expressão não está definida (excluímos), e nos pontos x=2\pm\sqrt{15} a fração vale zero (como queremos estritamente “<0”, também os excluímos).

Passo 8

Concluir a solução juntando os intervalos onde a expressão é negativa e removendo os pontos proibidos:
  • funcionam os intervalos (-\infty,-4), (2-\sqrt{15},3) e (2+\sqrt{15},\infty).

Resposta

\;(-\infty,-4)\cup\bigl(2-\sqrt{15},\,3\bigr)\cup\bigl(2+\sqrt{15},\,\infty\bigr)

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