Resolva a inequação:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Resolver a inequação
. - Informações importantes (domínio): os denominadores não podem ser zero, então
e . - A tarefa é transformar essa desigualdade em uma única expressão racional e estudar o sinal dessa expressão para encontrar os
que satisfazem a desigualdade. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o pedido e as condições.
Passo 2
Levar tudo para um único lado para ficar com uma única fração. Vou subtrair o membro direito do esquerdo e colocar sobre o mesmo denominador
:
O denominador comum será
. Multiplicando cada termo adequadamente obtemos (mostro cada numerador separado antes de somar):
Então a inequação vira
Passo 3
Calcular e simplificar o numerador passo a passo (explicando cada multiplicação):
Como no numerador temos o termo subtraído de
, esse contribui com
.
Somando tudo:
Portanto a inequação é
Passo 4
Fatorar o coeficiente comum e simplificar o sinal. Coloco
em evidência no numerador:
Como
, posso dividir ambos os lados da desigualdade por
, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade. Assim obtenho uma inequação equivalente mais simples:
(foi “>” original e ao dividir por
virou “<”.)
Passo 5
Encontrar as raízes do numerador
— elas são pontos onde a expressão pode mudar de sinal. Uso fórmula de Bhaskara:
As raízes são
Portanto as raízes exatas são
e
.
Passo 6
Listar todos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) e lembrar de excluir do domínio os zeros do denominador:
- zeros do numerador:
e . Nestes pontos a fração vale . - zeros do denominador:
(pois ) e (pois ). Estes não pertencem ao domínio — devemos excluí-los.
Ordenando na reta real (valores aproximados para intuição):.
Passo 7
Estudo de sinal por intervalos. Para decidir onde a fração é negativa (queremos “<0”) tomo um ponto teste em cada intervalo e avalio o sinal da fração
.
- Intervalo
. Testo :
logo a fração é
. Satisfeito.
- Intervalo
. Testo :
fração
. Não satisfaz.
- Intervalo
. Testo :
fração
. Satisfeito.
- Intervalo
. Testo :
fração
. Não satisfaz.
- Intervalo
. Testo :
fração
. Satisfeito.
Lembre que nos pontos
e
a expressão não está definida (excluímos), e nos pontos
a fração vale zero (como queremos estritamente “<0”, também os excluímos).
Passo 8
Concluir a solução juntando os intervalos onde a expressão é negativa e removendo os pontos proibidos:
- funcionam os intervalos
, e .