[1,5 pt] Considere a função f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1 \\\ a x+b, & x \geq 1\end{cases}
Determine os valores de a e b, para que f seja diferenciável em x=1.
Dica: Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1 \\\ a x+b, & x \geq 1\end{cases}
e pede: determinar os valores de a e b para que f seja diferenciável em x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1 temos f(x)=x^{2}.
  • Para x\ge 1 temos f(x)=ax+b.
  • Queremos que f seja diferenciável em x=1.
Observação importante (dada também pela dica do enunciado): para uma função ser diferenciável em um ponto ela precisa ser contínua nesse ponto. Além disso, diferenciabilidade em um ponto exige que as derivadas laterais (as inclinações vindo da esquerda e da direita) coincidam nesse ponto.

Passo 2

Primeiro passo técnico: impor continuidade em x=1.
O que significa continuidade em x=1? Significa que o limite pela esquerda em x\to1^-, o limite pela direita em x\to1^+ e o valor f(1) são todos iguais.
Calcule o limite pela esquerda (usando a expressão x^{2}, válida para x<1):
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Calcule o limite pela direita (usando ax+b, válida para x\ge1):
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (ax+b)=a\cdot 1 + b = a+b.
Para continuidade precisamos que esses limites coincidam e igualem f(1). Pelo trecho x\ge1 o valor f(1) é dado por f(1)=a\cdot 1 + b = a+b. Portanto a condição de continuidade reduz-se a:
1 = a + b.

Passo 3

Agora impor diferenciabilidade em x=1.
O que significa diferenciabilidade em x=1? Significa que a derivada à esquerda em x=1 (a inclinação do ramo esquerdo ao se aproximar de 1) deve ser igual à derivada à direita em x=1.
Vamos calcular as derivadas laterais.
Derivada à esquerda: como para x<1 temos f(x)=x^{2}, a derivada dessa função é, em ponto geral, f'(x)=2x. Em particular, a derivada à esquerda em x=1 é
f'_-(1)=2\cdot 1 = 2.
(Se quiser ver pela definição de derivada: f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{(1+h)^{2}-1}{h}=\lim_{h\to0^-}(2+h)=2. Mesma coisa.)
Derivada à direita: para x\ge1 temos f(x)=ax+b, que é uma função linear. A derivada de ax+b em qualquer ponto é a (porque a inclinação de uma reta ax+b é a). Assim
f'_+(1)=a.
(Também se obtém pela definição: f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{a(1+h)+b-(a+b)}{h}=\lim_{h\to0^+}a=a.)
Diferenciabilidade exige f'_-(1)=f'_+(1). Logo
2 = a.

Passo 4

Resolver o sistema formado pelas condições de continuidade e de igualdade das derivadas.
Da diferenciabilidade obtivemos
a = 2.
Da continuidade obtivemos
1 = a + b.
Substituindo a=2 em 1=a+b
1 = 2 + b \quad\Rightarrow\quad b = 1-2 = -1.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar tranquilo): com a=2 e b=-1,
  • f(1)=a\cdot 1 + b = 2-1=1, que coincide com \lim_{x\to1^-} x^{2}=1 — continuidade ok.
  • derivada à esquerda é 2 e derivada à direita é a=2 — derivadas coincidem — diferenciabilidade ok.

Resposta

a=2
b=-1

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