[1,5 pt] Considere a função
Determine os valores de
e
, para que
seja diferenciável em
.
Dica: Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: determinar os valores de
e
para que
seja diferenciável em
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para
temos . - Para
temos . - Queremos que
seja diferenciável em .
Observação importante (dada também pela dica do enunciado): para uma função ser diferenciável em um ponto ela precisa ser contínua nesse ponto. Além disso, diferenciabilidade em um ponto exige que as derivadas laterais (as inclinações vindo da esquerda e da direita) coincidam nesse ponto.
Passo 2
Primeiro passo técnico: impor continuidade em
.
O que significa continuidade em
? Significa que o limite pela esquerda em
, o limite pela direita em
e o valor
são todos iguais.
Calcule o limite pela esquerda (usando a expressão
, válida para
):
Calcule o limite pela direita (usando
, válida para
):
Para continuidade precisamos que esses limites coincidam e igualem
. Pelo trecho
o valor
é dado por
. Portanto a condição de continuidade reduz-se a:
Passo 3
Agora impor diferenciabilidade em
.
O que significa diferenciabilidade em
? Significa que a derivada à esquerda em
(a inclinação do ramo esquerdo ao se aproximar de
) deve ser igual à derivada à direita em
.
Vamos calcular as derivadas laterais.
Derivada à esquerda: como para
temos
, a derivada dessa função é, em ponto geral,
. Em particular, a derivada à esquerda em
é
(Se quiser ver pela definição de derivada:
. Mesma coisa.)
Derivada à direita: para
temos
, que é uma função linear. A derivada de
em qualquer ponto é
(porque a inclinação de uma reta
é
). Assim
(Também se obtém pela definição:
.)
Diferenciabilidade exige
. Logo
Passo 4
Resolver o sistema formado pelas condições de continuidade e de igualdade das derivadas.
Da diferenciabilidade obtivemos
Da continuidade obtivemos
Substituindo
em
dá
Passo 5
Verificação rápida (para ficar tranquilo): com
e
,
-
, que coincide com — continuidade ok. - derivada à esquerda é
e derivada à direita é — derivadas coincidem — diferenciabilidade ok.