[1, pag 152-7] Seja G um grupo e N um subgrupo normal de G. Prove que, se G / N e N são p-grupos (para algum primo p ) então G também é um p-grupo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo G e um subgrupo normal Nlhd G. Sabemos que N é um p-grupo e que o quociente G/N também é um p-grupo, para um primo p fixo. Precisamos mostrar que G é um p-grupo. Para isso, usaremos a definição equivalente de p-grupo: todo elemento tem ordem igual a uma potência de p.

Passo 2

Para provar que G é um p-grupo, basta mostrar que dado qualquer gin G, existe um inteiro r>=0 tal que
g^p^r=1
Isto garante que a ordem de g é uma potência de p.

Passo 3

Seja gin G. Na projeção canônica Gto G/N, o elemento g vai para o coset gN. Como G/N é um p-grupo, a ordem de gN é uma potência de p. Ou seja, existe a>=0 tal que
l(gNr)^p^a=N
Isto implica diretamente que
g^p^ain N

Passo 4

Agora, como N é um p-grupo, o elemento g^p^ain N tem ordem uma potência de p. Logo, existe b>=0 tal que
l(g^p^ar)^p^b=1,
isto é,
g^p^a+b=1

Passo 5

Mostramos que para o g arbitrário existe r=a+b tal que g^p^r=1. Logo a ordem de g é uma potência de p. Como g era qualquer elemento de G, concluímos que todos os elementos de G têm ordem p-potência, ou seja, G é um p-grupo.

Resposta

G é um p-grupo.

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