[1, pag 152-7] Seja
um grupo e
um subgrupo normal de
. Prove que, se
e
são
-grupos (para algum primo
) então
também é um
-grupo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo
e um subgrupo normal
. Sabemos que
é um
-grupo e que o quociente
também é um
-grupo, para um primo
fixo. Precisamos mostrar que
é um
-grupo. Para isso, usaremos a definição equivalente de
-grupo: todo elemento tem ordem igual a uma potência de
.
Passo 2
Para provar que
é um
-grupo, basta mostrar que dado qualquer
, existe um inteiro
tal que
Isto garante que a ordem de
é uma potência de
.
Passo 3
Seja
. Na projeção canônica
, o elemento
vai para o coset
. Como
é um
-grupo, a ordem de
é uma potência de
. Ou seja, existe
tal que
Isto implica diretamente que
Passo 4
Agora, como
é um
-grupo, o elemento
tem ordem uma potência de
. Logo, existe
tal que
isto é,
Passo 5
Mostramos que para o
arbitrário existe
tal que
. Logo a ordem de
é uma potência de
. Como
era qualquer elemento de
, concluímos que todos os elementos de
têm ordem
-potência, ou seja,
é um
-grupo.