[2, pag 158-36] Quais dos subconjuntos de
(\mathbb{Z}_{13}) são subgrupos em relação à multiplicação usual?
{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{6}, \overline{8}, \overline{10}, \overline{12}}.

Passo 1

O enunciado apresenta o grupo multiplicativo dos elementos não-nulos de Z13, que chamaremos de Z13^*, e pede para verificar se o subconjunto
H = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12
é um subgrupo de Z13^*.
Conteúdo necessário: definição de subgrupo em grupo finito e o Teorema de Lagrange, que diz que a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo.

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema de Lagrange. Primeiro notamos que
lvert Z13^*rvert = 12
pois Z13^* é o conjunto de todos os 12 elementos invertíveis módulo 13. No subconjunto dado temos
lvert Hrvert = 8
Pelo Teorema de Lagrange, se H fosse um subgrupo de Z13^*, então lvert Hrvert deveria dividir lvert Z13^*rvert. Mas 8 não divide 12. Logo, H não pode ser subgrupo.

Resposta

O conjunto H não é subgrupo de Z13^*.

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