[3, pag 53-4] Mostre que a interseção de dois subgrupos normais de
é um subgrupo normal de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subgrupos normais de um mesmo grupo
, e pede para mostrar que
também é um subgrupo normal de
.
Para isso vamos usar o critério de subgrupo via produto de um elemento pelo inverso de outro e a definição de normalidade (fechamento por conjugação).
Para isso vamos usar o critério de subgrupo via produto de um elemento pelo inverso de outro e a definição de normalidade (fechamento por conjugação).
Passo 2
Provar que
é subgrupo de
. Basta mostrar que para quaisquer
vale
e que o neutro de
está em
.
- Como
e são subgrupos, o neutro de pertence a ambos; logo . - Se
então e . Como e são subgrupos, temos
Portanto
.
Isso mostra que é subgrupo de
.
Isso mostra que
Passo 3
Provar que
é normal em
.
Seja e
. Como
é normal,
Seja
e como
é normal,
Logo
o que é exatamente a condição de normalidade para
.
Resposta
A interseção de dois subgrupos normais
e
de
é também um subgrupo normal de
.