[3, pag 53-4] Mostre que a interseção de dois subgrupos normais de G é um subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado diz que H e K são subgrupos normais de um mesmo grupo G, e pede para mostrar que
Hcap K
também é um subgrupo normal de G.
Para isso vamos usar o critério de subgrupo via produto de um elemento pelo inverso de outro e a definição de normalidade (fechamento por conjugação).

Passo 2

Provar que Hcap K é subgrupo de G. Basta mostrar que para quaisquer x,yin Hcap K vale xy^-1in Hcap K e que o neutro de G está em Hcap K.
  1. Como H e K são subgrupos, o neutro e de G pertence a ambos; logo ein Hcap K.
  2. Se x,yin Hcap K então x,yin H e x,yin K. Como H e K são subgrupos, temos
xy^-1in H e xy^-1in K
Portanto xy^-1in Hcap K.
Isso mostra que Hcap K é subgrupo de G.

Passo 3

Provar que Hcap K é normal em G.
Seja gin G e xin Hcap K. Como H é normal,
gxg^-1in H,
e como K é normal,
gxg^-1in K
Logo
gxg^-1in Hcap K,
o que é exatamente a condição de normalidade para Hcap K.

Resposta

A interseção de dois subgrupos normais H e K de G é também um subgrupo normal de G.

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