[1,5 pt] Uma partícula em repouso começa a se deslocar sobre o eixo
a partir da origem, com aceleração dada por
Qual é o deslocamento no intervalo de tempo
até
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do problema):
- A aceleração da partícula é
- A partícula parte do repouso na origem em
. Ou seja, as condições iniciais são e . - A pergunta: qual é o deslocamento da partícula no intervalo de tempo
até ? Em termos matemáticos, pede-se .
Passo 2
Relações físicas e matemáticas que vamos usar (explicação didática):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem de cálculo:
Isto significa que para obter a velocidade a partir da aceleração, devemos integrar
em relação a
:
onde
é uma constante de integração que será determinada pela condição inicial
.
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para obter a posição a partir da velocidade, integramos novamente:
onde
é outra constante de integração determinada por
.
- Resumindo: integrar
dá (com constante determinada por ); integrar dá (com constante determinada por ). Depois calculamos .
Passo 3
Integrar a aceleração para obter a velocidade.
Temos Vamos integrar termo a termo.
Temos
Explicando as integrais:
-
- Para
, escrevemos e usamos a fórmula para . Aqui , então
Portanto
Usando a condição inicial
, obtemos
Logo a velocidade é
Passo 4
Integrar a velocidade para obter a posição.
Integrando termo a termo:
-
-
Multiplicando pelo fator temos
Portanto
Usando
obtemos
. Assim
Passo 5
Calcular o deslocamento
.
Primeiro computamos e
usando a expressão encontrada.
Primeiro computamos
Observação útil:
Então
Agora
:
Subtraindo:
Colocando em denominador comum, uma forma conveniente é com denominador
:
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