[1,5 pt] Uma partícula em repouso começa a se deslocar sobre o eixo \times a partir da origem, com aceleração dada por
a(t)=1+\sqrt{2 t}, \quad t \geq 0
Qual é o deslocamento no intervalo de tempo t=1 até t=2 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do problema):
  • A aceleração da partícula é \,a(t)=1+\sqrt{2 t}\,,\quad t\ge 0.
  • A partícula parte do repouso na origem em t=0. Ou seja, as condições iniciais são \,v(0)=0 e \,x(0)=0.
  • A pergunta: qual é o deslocamento da partícula no intervalo de tempo \,t=1 até \,t=2? Em termos matemáticos, pede-se \,x(2)-x(1).

Passo 2

Relações físicas e matemáticas que vamos usar (explicação didática):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem de cálculo:
a(t)=\frac{d v}{d t}.
Isto significa que para obter a velocidade a partir da aceleração, devemos integrar a(t) em relação a t:
v(t)=\int a(t)\,dt + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração que será determinada pela condição inicial \,v(0)=0.
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{d x}{d t}.
Para obter a posição a partir da velocidade, integramos novamente:
x(t)=\int v(t)\,dt + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração determinada por \,x(0)=0.
  • Resumindo: integrar a(t) v(t) (com constante determinada por v(0)); integrar v(t) x(t) (com constante determinada por x(0)). Depois calculamos x(2)-x(1).

Passo 3

Integrar a aceleração para obter a velocidade.
Temos \,a(t)=1+\sqrt{2 t}. Vamos integrar termo a termo.
v(t)=\int \bigl(1+\sqrt{2 t}\bigr)\,dt + C_1.
Explicando as integrais:
  • \displaystyle \int 1\,dt = t.
  • Para \displaystyle \int \sqrt{2 t}\,dt, escrevemos \sqrt{2 t}=\sqrt{2}\,t^{1/2} e usamos a fórmula \displaystyle \int t^{\alpha}\,dt=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}, então
\int \sqrt{2 t}\,dt=\sqrt{2}\int t^{1/2}\,dt=\sqrt{2}\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2}.
Portanto
v(t)=t+\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2}+C_1.
Usando a condição inicial \,v(0)=0, obtemos
0=v(0)=0+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 0^{3/2}+C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=0.
Logo a velocidade é
v(t)=t+\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2}.

Passo 4

Integrar a velocidade para obter a posição.
x(t)=\int v(t)\,dt + C_2 = \int \left(t+\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2}\right)dt + C_2.
Integrando termo a termo:
  • \displaystyle \int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int t^{3/2}\,dt=\frac{t^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}\,t^{5/2}. Multiplicando pelo fator \tfrac{2\sqrt{2}}{3} temos
\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{2}{5}\,t^{5/2}=\frac{4\sqrt{2}}{15}\,t^{5/2}.
Portanto
x(t)=\frac{t^{2}}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\,t^{5/2}+C_2.
Usando \,x(0)=0 obtemos C_2=0. Assim
x(t)=\frac{t^{2}}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\,t^{5/2}.

Passo 5

Calcular o deslocamento \,x(2)-x(1).
Primeiro computamos x(2) e x(1) usando a expressão encontrada.
x(2)=\frac{2^{2}}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\,2^{5/2}.
Observação útil: \,2^{5/2}=2^{2}\cdot 2^{1/2}=4\sqrt{2}. Então
x(2)=\frac{4}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\cdot 4\sqrt{2}=2+\frac{16\cdot 2}{15}=2+\frac{32}{15}.
Agora x(1):
x(1)=\frac{1^{2}}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\,1^{5/2}=\frac{1}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}.
Subtraindo:
x(2)-x(1)=\left(2+\frac{32}{15}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}\right).
Colocando em denominador comum, uma forma conveniente é com denominador 30:
2+\frac{32}{15}=\frac{60}{30}+\frac{64}{30}=\frac{124}{30}, \qquad \frac{1}{2}+\frac{4\sqrt{2}}{15}=\frac{15}{30}+\frac{8\sqrt{2}}{30}=\frac{15+8\sqrt{2}}{30}.
Logo
x(2)-x(1)=\frac{124}{30}-\frac{15+8\sqrt{2}}{30}=\frac{124-15-8\sqrt{2}}{30}=\frac{109-8\sqrt{2}}{30}.

Resposta

\dfrac{109-8\sqrt{2}}{30}

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