Calcula as integrais seguintes utilizando as técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que . - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Aqui a melhor técnica é a mudança de variável (substituição), porque o denominador envolve
e o numerador tem um fator
implícito que permite relacionar
com
. Vou explicar a mudança de variável de forma didática.
Regra da mudança de variável (em palavras): se definimos
, então
e podemos reescrever toda a integral em função de
. A vantagem é simplificar a forma da integral.
Escolho a substituição
Calculo
:
Passo 3
Reescrever
em termos de
. Observe que
Com
temos
, logo
Portanto
Agora o denominador
é simplesmente
. Assim a integral transforma-se em
Passo 4
Simplificar o integrando em
. Expando o numerador e uso potências:
Portanto a integral fica
Passo 5
Integro termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando isso a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando os resultados dentro do fator
obtemos
Passo 6
Distribuo o fator
e simplifico coeficientes:
Logo a primitiva em função de
é
Agora volto à variável original
usando
. Assim a primitiva em
é
Passo 7
Breve verificação mental (sem cálculo formal): as potências são coerentes com a substituição feita e cada termo é uma função de
, que ao derivar gera fator
que combina com os fatores
que usamos para transformar
. Isso dá confiança de que a transformação foi correta.