Calcula as integrais seguintes utilizando as técnicas de Integração por Partes e Mudança de Variável, respectivamente.
\int \frac{t^{5}}{\sqrt[3]{2-t^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{t^{5}}{\sqrt[3]{2-t^{2}}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{t^{5}}{(2-t^{2})^{1/3}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(t) tal que F'(t)=\dfrac{t^{5}}{(2-t^{2})^{1/3}}.
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Aqui a melhor técnica é a mudança de variável (substituição), porque o denominador envolve 2-t^{2} e o numerador tem um fator t implícito que permite relacionar dt com du. Vou explicar a mudança de variável de forma didática.
Regra da mudança de variável (em palavras): se definimos u=g(t), então du=g'(t)\,dt e podemos reescrever toda a integral em função de u. A vantagem é simplificar a forma da integral.
Escolho a substituição
u=2-t^{2}.
Calculo du:
du = -2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrever t^{5}\,dt em termos de u. Observe que
t^{5}=t^{4}\cdot t=(t^{2})^{2}\cdot t.
Com u=2-t^{2} temos t^{2}=2-u, logo
t^{4}=(t^{2})^{2}=(2-u)^{2}.
Portanto
t^{5}\,dt = (2-u)^{2}\cdot t\,dt = (2-u)^{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}(2-u)^{2}\,du.
Agora o denominador (2-t^{2})^{1/3} é simplesmente u^{1/3}. Assim a integral transforma-se em
\int \frac{t^{5}}{(2-t^{2})^{1/3}}\,dt = \int \frac{-\tfrac{1}{2}(2-u)^{2}}{u^{1/3}}\,du.

Passo 4

Simplificar o integrando em u. Expando o numerador e uso potências:
-\tfrac{1}{2}\,\frac{(2-u)^{2}}{u^{1/3}} = -\tfrac{1}{2}\,\bigl(4u^{-1/3}-4u^{2/3}+u^{5/3}\bigr).
Portanto a integral fica
-\tfrac{1}{2}\int\bigl(4u^{-1/3}-4u^{2/3}+u^{5/3}\bigr)\,du.

Passo 5

Integro termo a termo usando a regra da potência: para \alpha\neq-1,
\int u^{\alpha}\,du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aplicando isso a cada termo:
  1. Para 4u^{-1/3}:
\int 4u^{-1/3}\,du = 4\cdot\frac{u^{2/3}}{2/3} = 4\cdot\frac{3}{2}\,u^{2/3}=6u^{2/3}.
  1. Para -4u^{2/3}:
\int -4u^{2/3}\,du = -4\cdot\frac{u^{5/3}}{5/3} = -4\cdot\frac{3}{5}\,u^{5/3}=-\tfrac{12}{5}u^{5/3}.
  1. Para u^{5/3}:
\int u^{5/3}\,du = \frac{u^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{8}u^{8/3}.
Somando os resultados dentro do fator -\tfrac{1}{2} obtemos
-\tfrac{1}{2}\left(6u^{2/3}-\tfrac{12}{5}u^{5/3}+\tfrac{3}{8}u^{8/3}\right).

Passo 6

Distribuo o fator -\tfrac{1}{2} e simplifico coeficientes:
  1. -\tfrac{1}{2}\cdot 6u^{2/3} = -3u^{2/3}.
  2. -\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{12}{5}u^{5/3}\right) = +\tfrac{6}{5}u^{5/3}.
  3. -\tfrac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{3}{8}u^{8/3}\right) = -\tfrac{3}{16}u^{8/3}.
Logo a primitiva em função de u é
-3u^{2/3}+\tfrac{6}{5}u^{5/3}-\tfrac{3}{16}u^{8/3}+C.
Agora volto à variável original t usando u=2-t^{2}. Assim a primitiva em t é
-3(2-t^{2})^{2/3}+\tfrac{6}{5}(2-t^{2})^{5/3}-\tfrac{3}{16}(2-t^{2})^{8/3}+C.

Passo 7

Breve verificação mental (sem cálculo formal): as potências são coerentes com a substituição feita e cada termo é uma função de (2-t^{2})^{\beta}, que ao derivar gera fator -2t que combina com os fatores t^{4} que usamos para transformar t^{5}. Isso dá confiança de que a transformação foi correta.

Resposta

-3(2-t^{2})^{2/3}+\frac{6}{5}(2-t^{2})^{5/3}-\frac{3}{16}(2-t^{2})^{8/3}+C

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