[1,0 ponto] 11. Seja uma barra horizontal de massa
distribuída uniformemente ao longo de todo o seu comprimento
. Uma massa pontual
encontra-se a uma distância
da extremidade direita da barra horizontal, ao longo do mesmo eixo horizontal onde se encontra a barra. Faça um desenho do problema, e depois siga os passos a seguir:
(a) Marque um pedacinho bem pequeno de comprimento
e massa
em um ponto qualquer da barra. Calcule a força gravitacional que a massa
sente devido a esse pedacinho.
(b) A partir do seu resultado do item anterior, determine a força total que a massa
sente devido a toda a barra.
(c) Analise o seu resultado no limite
. Qual é a interpretação física desse comportamento?
(a) Marque um pedacinho bem pequeno de comprimento
(b) A partir do seu resultado do item anterior, determine a força total que a massa
(c) Analise o seu resultado no limite
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está pedido e os dados que temos):
- Dados fornecidos:
- Uma barra horizontal de massa total
, comprimento , com massa uniformemente distribuída ao longo do comprimento. - Uma massa pontual
localizada ao longo do mesmo eixo, a uma distância da extremidade direita da barra, do lado direito da barra (ou seja, à direita da extremidade direita).
- Uma barra horizontal de massa total
- O que o enunciado pede:
- (a) Marcar um pedacinho da barra de comprimento
e massa e calcular a força gravitacional que a massa sente devido a esse pedacinho. - (b) A partir do item (a), calcular a força total que
sente devido a toda a barra. - (c) Analisar o resultado no limite
e interpretar fisicamente esse comportamento.
- (a) Marcar um pedacinho da barra de comprimento
Observação sobre a configuração (importante para montar as distâncias):
- Vou colocar a origem do eixo no ponto que é a extremidade direita da barra. Assim pontos da barra têm coordenada
variando de (extremidade direita) até (extremidade esquerda). - A massa pontual
fica à direita da origem, na posição na reta real (mas para facilidade de distância entre o elemento da barra e usarei o módulo): a distância entre um elemento da barra em posição e a massa é . Vou trabalhar com essa expressão para as distâncias.
Passo 2
Parte (a): escolher um pedacinho, expressar sua massa e calcular a força que exerce sobre
.
-
Massa linear (densidade linear) da barra:onde
é a massa por unidade de comprimento (unidades: se usar SI). -
Um pedaço da barra de comprimento
localizado na posição (medida a partir da extremidade direita) tem massa Explicação didática: como a barra é uniforme, cada pedacinho tem massa proporcional ao seu comprimento; a constante de proporcionalidade é. -
Lei da gravitação universal (a “aula curta”): dois pontos materiais de massas
e separados por uma distância exercem uma força de atração de módulo ondeé a constante gravitacional. A força é atrativa, ou seja, aponta ao longo da linha que une as massas, dirigida uma para a outra. -
Aplicando isso ao pedaço da barra e à massa
: a distância entre o pedaço (em ) e é . Então o módulo da força exercida por esse pedaço sobre vale Substituindo: -
Direção da força: como é atração, a força sobre
aponta para a esquerda (em direção à barra). Se quisermos adotar sinal negativo para a esquerda, podemos escrever a componente ao longo do eixo (eixo positivo para a direita) como onde o sinal negativo indica que a força está apontando para a esquerda.
Passo 3
Parte (b): integrar a contribuição de todos os pedaços da barra para obter a força total.
- Pela superposição: a força total é a soma (integral) das contribuições
para variando de a : Posso tirar constantes da integral: - Calcular a integral (aqui uma pequena aula de cálculo): defina
. Então . Quando temos ; quando temos . A integral transforma-se em A primitiva de é , porque . Assim - Substituindo de volta em
: Agora simplifico a expressão entre parênteses: Então - Interpretando o sinal: o resultado com sinal negativo indica que a força está dirigida para a esquerda (atração em direção à barra). Se quisermos apenas o módulo positivo da força e indicar a direção separadamente:
- Observação prática: uma forma equivalente e compacta é escrever
onde o eixo positivo é para a direita.
Passo 4
Parte (c): analisar o limite
e interpretar fisicamente.
- Primeira aproximação: se
é muito maior que , então . Na expressão para o módulo da força, podemos aproximar , obtendo Ou em forma vetorial: - Interpretação física (aula curta): quando a distância entre a massa
e um corpo estendido (a barra) é muito maior que as dimensões desse corpo, o corpo estendido se comporta gravitacionalmente, para efeitos externos, como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. No nosso caso a massa total da barra vista de longe age praticamente como um ponto de massa situado aproximadamente no centro de massa da barra. Como é medido a partir da extremidade direita, o centro de massa da barra está a uma distância da massa ; para essa diferença entre e é pequena relativament e, e o campo gravitacional se aproxima do campo de uma massa pontual à distância , dando a lei . - Expansão assintótica (detalhe opcional): expandindo em potências de
, ou seja, a correção ao comportamento de ponto é da ordem de menor do que o termo principal.
Resposta
(a)
(direção: para a esquerda, em direção à barra).
(b) (sinal negativo indica direção para a esquerda; o módulo é
).
(c) Para temos
. Interpretação: a barra, vista de muito longe, age praticamente como uma massa pontual
localizada em seu centro de massa (campo gravitacional com comportamento em
).
(b)
(c) Para