[1,0 ponto] 11. Seja uma barra horizontal de massa M distribuída uniformemente ao longo de todo o seu comprimento L. Uma massa pontual m encontra-se a uma distância d da extremidade direita da barra horizontal, ao longo do mesmo eixo horizontal onde se encontra a barra. Faça um desenho do problema, e depois siga os passos a seguir:
(a) Marque um pedacinho bem pequeno de comprimento d x e massa d M em um ponto qualquer da barra. Calcule a força gravitacional que a massa m sente devido a esse pedacinho.
(b) A partir do seu resultado do item anterior, determine a força total que a massa m sente devido a toda a barra.
(c) Analise o seu resultado no limite d \gg L. Qual é a interpretação física desse comportamento?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está pedido e os dados que temos):
  • Dados fornecidos:
    • Uma barra horizontal de massa total M, comprimento L, com massa uniformemente distribuída ao longo do comprimento.
    • Uma massa pontual m localizada ao longo do mesmo eixo, a uma distância d da extremidade direita da barra, do lado direito da barra (ou seja, à direita da extremidade direita).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Marcar um pedacinho da barra de comprimento d x e massa d M e calcular a força gravitacional que a massa m sente devido a esse pedacinho.
    • (b) A partir do item (a), calcular a força total que m sente devido a toda a barra.
    • (c) Analisar o resultado no limite d \gg L e interpretar fisicamente esse comportamento.
Observação sobre a configuração (importante para montar as distâncias):
  • Vou colocar a origem do eixo no ponto que é a extremidade direita da barra. Assim pontos da barra têm coordenada x variando de x=0 (extremidade direita) até x=L (extremidade esquerda).
  • A massa pontual m fica à direita da origem, na posição x=-d na reta real (mas para facilidade de distância entre o elemento da barra e m usarei o módulo): a distância entre um elemento da barra em posição x e a massa m é (d+x). Vou trabalhar com essa expressão para as distâncias.

Passo 2

Parte (a): escolher um pedacinho, expressar sua massa e calcular a força que exerce sobre m.
  • Massa linear (densidade linear) da barra:
    \lambda=\frac{M}{L},
    onde \lambda é a massa por unidade de comprimento (unidades: \text{kg/m} se usar SI).
  • Um pedaço da barra de comprimento \,d x\, localizado na posição x (medida a partir da extremidade direita) tem massa
    d M=\lambda\,d x=\frac{M}{L}\,d x.
    Explicação didática: como a barra é uniforme, cada pedacinho tem massa proporcional ao seu comprimento; a constante de proporcionalidade é \lambda.
  • Lei da gravitação universal (a “aula curta”): dois pontos materiais de massas m_1 e m_2 separados por uma distância r exercem uma força de atração de módulo
    F=G\frac{m_1 m_2}{r^2},
    onde G é a constante gravitacional. A força é atrativa, ou seja, aponta ao longo da linha que une as massas, dirigida uma para a outra.
  • Aplicando isso ao pedaço da barra e à massa m: a distância entre o pedaço (em x) e m é (d+x). Então o módulo da força exercida por esse pedaço sobre m vale
    dF_{\text{(módulo)}}=G\frac{m\;d M}{(d+x)^2}.ó
    Substituindo d M=\dfrac{M}{L}\,d x:
    dF_{\text{(módulo)}}=G\frac{m}{(d+x)^2}\cdot\frac{M}{L}\,d x.ó
  • Direção da força: como é atração, a força sobre m aponta para a esquerda (em direção à barra). Se quisermos adotar sinal negativo para a esquerda, podemos escrever a componente ao longo do eixo (eixo positivo para a direita) como
    dF=-G\frac{m}{(d+x)^2}\cdot\frac{M}{L}\,d x,
    onde o sinal negativo indica que a força está apontando para a esquerda.

Passo 3

Parte (b): integrar a contribuição de todos os pedaços da barra para obter a força total.
  • Pela superposição: a força total é a soma (integral) das contribuições dF para x variando de 0 a L: F=\int_{0}^{L} dF=\int_{0}^{L}\left(-G\frac{m}{(d+x)^2}\cdot\frac{M}{L}\right)d x.Posso tirar constantes da integral: F=-G\frac{mM}{L}\int_{0}^{L}\frac{d x}{(d+x)^2}.
  • Calcular a integral (aqui uma pequena aula de cálculo): defina u=d+x. Então du=d x. Quando x=0 temos u=d; quando x=L temos u=d+L. A integral transforma-se em \int_{0}^{L}\frac{d x}{(d+x)^2}=\int_{u=d}^{u=d+L}\frac{du}{u^2}.A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}, porque \dfrac{d}{du}(-u^{-1})=u^{-2}. Assim \int_{d}^{d+L}\frac{du}{u^2}=\left[-\frac{1}{u}\right]_{d}^{d+L}=-\frac{1}{d+L}-\left(-\frac{1}{d}\right)=\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}.
  • Substituindo de volta em F: F=-G\frac{mM}{L}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\right).Agora simplifico a expressão entre parênteses: \frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}=\frac{d+L-d}{d(d+L)}=\frac{L}{d(d+L)}.Então F=-G\frac{mM}{L}\cdot\frac{L}{d(d+L)}=-G\frac{mM}{d(d+L)}.
  • Interpretando o sinal: o resultado com sinal negativo indica que a força está dirigida para a esquerda (atração em direção à barra). Se quisermos apenas o módulo positivo da força e indicar a direção separadamente: \text{módulo: }\;F_{\text{mód}}=G\frac{mM}{d(d+L)}, \qquad\text{direção: para a esquerda (em direção à barra).}óóçãçãà
  • Observação prática: uma forma equivalente e compacta é escrever F=-G\frac{mM}{d(d+L)},onde o eixo positivo é para a direita.

Passo 4

Parte (c): analisar o limite \,d \gg L\, e interpretar fisicamente.
  • Primeira aproximação: se d é muito maior que L, então d+L\approx d. Na expressão para o módulo da força, F_{\text{mód}}=G\frac{mM}{d(d+L)},ópodemos aproximar d+L\approx d, obtendo F_{\text{mód}}\approx G\frac{mM}{d^2}.óOu em forma vetorial: F\approx -G\frac{mM}{d^2}.
  • Interpretação física (aula curta): quando a distância entre a massa m e um corpo estendido (a barra) é muito maior que as dimensões desse corpo, o corpo estendido se comporta gravitacionalmente, para efeitos externos, como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. No nosso caso a massa total M da barra vista de longe age praticamente como um ponto de massa situado aproximadamente no centro de massa da barra. Como d é medido a partir da extremidade direita, o centro de massa da barra está a uma distância d+L/2 da massa m; para d\gg L essa diferença entre d e d+L/2 é pequena relativament e, e o campo gravitacional se aproxima do campo de uma massa pontual M à distância \approx d, dando a lei \propto 1/d^2.
  • Expansão assintótica (detalhe opcional): expandindo em potências de L/d, \frac{1}{d(d+L)}=\frac{1}{d^2}\cdot\frac{1}{1+L/d}\approx\frac{1}{d^2}\left(1-\frac{L}{d}+\cdots\right),ou seja, a correção ao comportamento de ponto é da ordem de L/d menor do que o termo principal.

Resposta

(a) dF=-G\displaystyle\frac{m}{(d+x)^2}\cdot\frac{M}{L}\,d x (direção: para a esquerda, em direção à barra).
(b) F=-G\displaystyle\frac{mM}{d(d+L)} (sinal negativo indica direção para a esquerda; o módulo é G\dfrac{mM}{d(d+L)}).
(c) Para \,d\gg L\, temos F_{\text{mód}}\approx G\dfrac{mM}{d^2}ó. Interpretação: a barra, vista de muito longe, age praticamente como uma massa pontual M localizada em seu centro de massa (campo gravitacional com comportamento em 1/d^2).

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