Considere um planeta de massa
dando voltas em torno de uma estrela de massa
em uma órbita circular de raio
. Determine, em função de
e
:
(a) A velocidade do planeta;
(b) O período
do planeta, isto é, o tempo que leva para ele percorrer toda a órbita;
(c) Mostre que
. Existe alguma lei que fala sobre isso?
(a) A velocidade do planeta;
(b) O período
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
-
Informações dadas:
- Um planeta de massa
descreve uma órbita circular de raio ao redor de uma estrela de massa . - A constante gravitacional universal é
.
- Um planeta de massa
-
Perguntas do problema:
- (a) Determinar a velocidade do planeta em função de
e . - (b) Determinar o período
do planeta, isto é, o tempo para percorrer toda a órbita, em função de e . - (c) Mostrar que
. Perguntar se existe alguma lei que afirma isso.
- (a) Determinar a velocidade do planeta em função de
Passo 2
Entendendo as forças e as quantidades envolvidas (fórmulas que vou usar).
- Força gravitacional entre a estrela e o planeta (lei da gravitação universal de Newton). A magnitude da força é
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da estrela, -
é a massa do planeta, -
é a distância entre os centros (no caso, raio da órbita circular). -
Para manter o planeta em órbita circular, essa força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A expressão da força centrípeta sobre o planeta é
onde:
-
é a velocidade linear do planeta na órbita, -
e já definidos.
Estas duas fórmulas são as ferramentas principais: gravidade (tende a atrair) e a necessidade de força centrípeta para movimento circular.
Passo 3
Igualando a força gravitacional com a força centrípeta (porque a gravidade é a causa da aceleração centrípeta):
Observe que o fator
aparece nos dois lados; isto significa que, para órbitas onde a massa do planeta não altera significativamente o centro de massa (caso usual
), a velocidade orbital não depende da massa do planeta. Agora simplifico a equação cancelando
e rearranjando para
.
Passo 4
Resolvo para
passo a passo:
- Cancelo
nos dois lados:
- Multiplico ambos os lados por
:
- Tomando raiz quadrada de ambos os lados (velocidade positiva):
Esse é o resultado para a velocidade do planeta em órbita circular. Observações úteis para prova: a massa
do planeta não aparece no resultado; a velocidade depende apenas de
,
e
.
Passo 5
Agora calculo o período
. Definição prática: o período é o tempo necessário para o planeta percorrer toda a circunferência da órbita.
- O comprimento da órbita (circunferência) é
. - Se o planeta tem velocidade constante
, o tempo para completar a volta é
Substituo a expressão de
encontrada no passo anterior:
Passo 6
Faço a álgebra para simplificar
:
- Reescrevo a raiz no denominador como multiplicação:
- Junto potências de
:
Esse é o período do planeta em órbita circular em função de
e
. Note que novamente a massa
do planeta desapareceu — o período não depende de
(desde que
e o centro de massa seja praticamente o centro da estrela).
Passo 7
Mostrar a proporcionalidade pedida e relacionar com a lei conhecida.
- A expressão obtida para
é
Dessa forma vê-se claramente que, para
e
fixos,
- Em termos quadráticos frequentemente escritos em livros, elevando ao quadrado:
- Existe sim uma lei que afirma essa relação: é a terceira lei de Kepler (a terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita). Para órbitas circulares o semi-eixo maior é exatamente
, e a relação se reduz precisamente à que mostramos.
Observação adicional para provas: se a massa do planeta não for desprezível em relação a
, a expressão exata no caso de dois corpos é
que para
reduz à fórmula usada acima.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (curtas, motivadoras):
- Mostre rapidamente que a gravidade fornece a centrípeta e cancele
— isso já resolve a maior parte. - Lembre-se da fórmula
e substitua. - Se pedirem proporcionalidade, reduza a expressão a
ou e cite a 3ª lei de Kepler. - Você consegue! Respira fundo e faça os passos em sequência: força = centrípeta → solve v → circumference/ v → simplify.
Resposta
(a)
(b)
(c) . Sim: é a terceira lei de Kepler (ou Lei dos Períodos).
(b)
(c)