Considere um planeta de massa m dando voltas em torno de uma estrela de massa M em uma órbita circular de raio r. Determine, em função de G, M, m e r :
(a) A velocidade do planeta;
(b) O período T do planeta, isto é, o tempo que leva para ele percorrer toda a órbita;
(c) Mostre que T \propto R^{3 / 2}. Existe alguma lei que fala sobre isso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Informações dadas:
    • Um planeta de massa m descreve uma órbita circular de raio r ao redor de uma estrela de massa M.
    • A constante gravitacional universal é G.
  • Perguntas do problema:
    • (a) Determinar a velocidade do planeta em função de G, M, m e r.
    • (b) Determinar o período T do planeta, isto é, o tempo para percorrer toda a órbita, em função de G, M, m e r.
    • (c) Mostrar que T\propto R^{3/2}. Perguntar se existe alguma lei que afirma isso.

Passo 2

Entendendo as forças e as quantidades envolvidas (fórmulas que vou usar).
  • Força gravitacional entre a estrela e o planeta (lei da gravitação universal de Newton). A magnitude da força é
F_G=\frac{G\,M\,m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da estrela,
  • m é a massa do planeta,
  • r é a distância entre os centros (no caso, raio da órbita circular).
  • Para manter o planeta em órbita circular, essa força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A expressão da força centrípeta sobre o planeta é
F_{\text{cent}}=\frac{m\,v^{2}}{r},
onde:
  • v é a velocidade linear do planeta na órbita,
  • m e r já definidos.
Estas duas fórmulas são as ferramentas principais: gravidade (tende a atrair) e a necessidade de força centrípeta para movimento circular.

Passo 3

Igualando a força gravitacional com a força centrípeta (porque a gravidade é a causa da aceleração centrípeta):
\frac{G\,M\,m}{r^{2}}=\frac{m\,v^{2}}{r}.
Observe que o fator m aparece nos dois lados; isto significa que, para órbitas onde a massa do planeta não altera significativamente o centro de massa (caso usual M\gg m), a velocidade orbital não depende da massa do planeta. Agora simplifico a equação cancelando m e rearranjando para v.

Passo 4

Resolvo para v passo a passo:
  • Cancelo m nos dois lados:
\frac{G\,M}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r}.
  • Multiplico ambos os lados por r:
\frac{G\,M}{r} = v^{2}.
  • Tomando raiz quadrada de ambos os lados (velocidade positiva):
v=\sqrt{\frac{G\,M}{r}}.
Esse é o resultado para a velocidade do planeta em órbita circular. Observações úteis para prova: a massa m do planeta não aparece no resultado; a velocidade depende apenas de G, M e r.

Passo 5

Agora calculo o período T. Definição prática: o período é o tempo necessário para o planeta percorrer toda a circunferência da órbita.
  • O comprimento da órbita (circunferência) é 2\pi r.
  • Se o planeta tem velocidade constante v, o tempo para completar a volta é
T=\frac{\text{comprimento}}{\text{velocidade}}=\frac{2\pi r}{v}.
Substituo a expressão de v encontrada no passo anterior:
T=\frac{2\pi r}{\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}}.

Passo 6

Faço a álgebra para simplificar T:
  • Reescrevo a raiz no denominador como multiplicação:
T=2\pi r \cdot \sqrt{\frac{r}{G\,M}}.
  • Junto potências de r:
T=2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M}}.
Esse é o período do planeta em órbita circular em função de G, M e r. Note que novamente a massa m do planeta desapareceu — o período não depende de m (desde que M\gg m e o centro de massa seja praticamente o centro da estrela).

Passo 7

Mostrar a proporcionalidade pedida e relacionar com a lei conhecida.
  • A expressão obtida para T é
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M}}.
Dessa forma vê-se claramente que, para G e M fixos,
T\propto r^{3/2}.
  • Em termos quadráticos frequentemente escritos em livros, elevando ao quadrado:
T^{2}=\left(2\pi\right)^{2}\frac{r^{3}}{G\,M}\quad\Rightarrow\quad T^{2}\propto r^{3}.
  • Existe sim uma lei que afirma essa relação: é a terceira lei de Kepler (a terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita). Para órbitas circulares o semi-eixo maior é exatamente r, e a relação se reduz precisamente à que mostramos.
Observação adicional para provas: se a massa do planeta não for desprezível em relação a M, a expressão exata no caso de dois corpos é
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,(M+m)}},
que para m\ll M reduz à fórmula usada acima.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (curtas, motivadoras):
  • Mostre rapidamente que a gravidade fornece a centrípeta e cancele m — isso já resolve a maior parte.
  • Lembre-se da fórmula T=2\pi r/v e substitua.
  • Se pedirem proporcionalidade, reduza a expressão a T\propto r^{3/2} ou T^{2}\propto r^{3} e cite a 3ª lei de Kepler.
  • Você consegue! Respira fundo e faça os passos em sequência: força = centrípeta → solve v → circumference/ v → simplify.

Resposta

(a) v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}
(b) T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,M}}
(c) T\propto r^{3/2}. Sim: é a terceira lei de Kepler (ou Lei dos Períodos).

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