[1 Ponto] Calcule a integral:
\int \frac{x}{\sqrt{2 x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para transformar a expressão em algo do tipo potência de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x+1.
Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2},
e também expressamos x em função de u:
x = \frac{u-1}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = \int \frac{\tfrac{u-1}{2}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int \frac{u-1}{u^{1/2}}\,du = \frac{1}{4}\int\Bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\Bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{3/2}, \qquad \int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} = 2u^{1/2}.
Logo
\frac{1}{4}\int\Bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\Bigr)\,du = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}\Bigr) = \frac{1}{6}u^{3/2}-\frac{1}{2}u^{1/2}+C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u=2x+1, obtemos
\frac{1}{6}(2x+1)^{3/2}-\frac{1}{2}(2x+1)^{1/2}+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}}\,dx = \frac{1}{6}(2x+1)^{3/2}-\frac{1}{2}(2x+1)^{1/2}+C.}

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