(a) Mostre que se o lucro P(x) for máximo, então a receita marginal é igual ao custo marginal.
(b) Se C(x)=16.000+500 x-1,6 x^{2}+0,004 x^{3} for a função custo e p(x)=1.700-7 x a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado trata de maximizar o lucro P(x), definido como diferença entre a receita R(x) e o custo C(x). O conteúdo principal é cálculo de derivadas (marginais) e otimização de funções. Para resolver, vamos:
  1. Expressar a receita R(x) em função da demanda p(x).
  2. Definir P(x)=R(x)-C(x).
  3. Encontrar P'(x) e impor P'(x)=0 para achar o ponto de máximo.
  4. Mostrar que isso equivale a R'(x)=C'(x), que são as receitas e custos marginais.

Passo 2

A receita total é o preço por unidade vezes a quantidade, isto é,
R(x)=p(x)\,x.
A partir daí, a receita marginal é definida como
R'(x)=\frac{dR}{dx}.

Passo 3

O lucro é
P(x)=R(x)-C(x).
Diferenciando, obtemos
P'(x)=R'(x)-C'(x).
No ponto onde P(x) é máximo, devemos ter P'(x)=0. Logo,
R'(x)-C'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad R'(x)=C'(x).
Isto mostra que, no máximo de lucro, a receita marginal é igual ao custo marginal, como pedido em (a).

Passo 4

Agora vamos à parte (b). Temos
C(x)=16.000+500x-1,6x^{2}+0,004x^{3}, \qquad p(x)=1.700-7x.
Primeiro, calculemos a receita:
R(x)=x\,(1.700-7x)=1.700x-7x^{2}.

Passo 5

Em seguida, as derivadas marginais são
R'(x)=\frac{d}{dx}(1.700x-7x^{2})=1.700-14x,
C'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(16.000+500x-1,6x^{2}+0,004x^{3}\bigr) =500-3,2x+0,012x^{2}.
Para maximizar o lucro, igualamos:
R'(x)=C'(x) \quad\Longrightarrow\quad 1.700-14x=500-3,2x+0,012x^{2}.

Passo 6

Reorganizando a equação:
1.700-14x-500+3,2x-0,012x^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 1.200-10,8x-0,012x^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 0,012x^{2}+10,8x-1.200=0.
Multiplicando por 1/0,012:
x^{2}+900x-100.000=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-900\pm\sqrt{900^{2}+4\cdot100.000}}{2} =\frac{-900\pm\sqrt{810.000+400.000}}{2} =\frac{-900\pm1.100}{2}.
Isto dá duas raízes:
x_{1}=\frac{-900+1.100}{2}=100, \qquad x_{2}=\frac{-900-1.100}{2}=-1.000.
Descartamos x_{2}=-1.000 (não faz sentido produzir quantidade negativa).

Passo 7

Verificamos brevemente que P''(100)<0, garantindo máximo:
P''(x)=R''(x)-C''(x)=-14-\bigl(-3,2+0,024x\bigr) \quad\Rightarrow\quad P''(100)=-14-(-0,8)=-13,2<0.

Resposta

O nível de produção que maximiza o lucro é x=100 unidades.

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