(a) Mostre que se o lucro
for máximo, então a receita marginal é igual ao custo marginal.
(b) Se
for a função custo e
a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.
(b) Se
Passo 1
O enunciado trata de maximizar o lucro
, definido como diferença entre a receita
e o custo
. O conteúdo principal é cálculo de derivadas (marginais) e otimização de funções. Para resolver, vamos:
- Expressar a receita
em função da demanda . - Definir
. - Encontrar
e impor para achar o ponto de máximo. - Mostrar que isso equivale a
, que são as receitas e custos marginais.
Passo 2
A receita total é o preço por unidade vezes a quantidade, isto é,
A partir daí, a receita marginal é definida como
Passo 3
O lucro é
Diferenciando, obtemos
No ponto onde
é máximo, devemos ter
. Logo,
Isto mostra que, no máximo de lucro, a receita marginal é igual ao custo marginal, como pedido em (a).
Passo 4
Agora vamos à parte (b). Temos
Primeiro, calculemos a receita:
Passo 5
Em seguida, as derivadas marginais são
Para maximizar o lucro, igualamos:
Passo 6
Reorganizando a equação:
Multiplicando por
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isto dá duas raízes:
Descartamos
(não faz sentido produzir quantidade negativa).
Passo 7
Verificamos brevemente que
, garantindo máximo:
Resposta
O nível de produção que maximiza o lucro é
unidades.