Supondo que um triângulo tenha uma aresta de comprimento a e outra aresta de comprimento 2 a, mostre que a maior área que o triângulo pode ter é igual a a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área máxima de um triângulo cujas duas arestas têm comprimentos a e 2a. O que precisamos usar é a fórmula da área em função de dois lados e do ângulo entre eles.

Passo 2

Para determinar a área em função do ângulo \theta entre as arestas de comprimentos a e 2a, usamos a fórmula
A(\theta)=\frac12\cdot a\cdot 2a\sin\theta = a^2\sin\theta.

Passo 3

Sabemos que, para todo \theta, \sin\theta\le1, e o máximo \sin\theta=1 ocorre quando \theta=\frac\pi2.

Passo 4

Substituindo o valor máximo de \sin\theta em A(\theta), obtemos
A_{\max}=a^2\cdot1=a^2.

Resposta

a^2

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