[1 Ponto] Determine uma função escalar f tal que nabla f=(6 x y, 3 x^2-2 z e^2 y, 2 z-e^2 y).

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma função escalar fcolonR^3toR tal que
nabla f = l(6xy,;3x^2 - 2z e^2y,;2z - e^2yr)
O conteúdo aqui é potencial de campo vetorial: vamos integrar cada componente parcial para obter f.

Passo 2

Para a primeira componente temos
partial fpartial x = 6xy
Integrando em relação a x,
f(x,y,z) = integral 6xy,dx = 3x^2y + g(y,z),
onde g é uma função ainda desconhecida de y e z.

Passo 3

Agora olhamos a segunda componente:
partial fpartial y = partialpartial yl(3x^2y + g(y,z)r) = 3x^2 + partial gpartial y
Mas sabemos que isso deve ser igual a 3x^2 - 2z e^2y. Logo
3x^2 + partial gpartial y = 3x^2 - 2z e^2y Longrightarrow partial gpartial y = -2z e^2y
Integrando em y,
g(y,z) = integral -2z e^2y,dy = -z e^2y + h(z),
onde h é uma função ainda só de z.

Passo 4

Por fim, a terceira componente é
partial fpartial z = partialpartial zl(3x^2y - z e^2y + h(z)r) = -e^2y + h'(z)
Isto deve coincidir com 2z - e^2y, portanto
-e^2y + h'(z) = 2z - e^2y Longrightarrow h'(z) = 2z Longrightarrow h(z) = z^2 + C

Resposta

f(x,y,z) = 3x^2y - z e^2y + z^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

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