Considere a função f(x)=a^x.
a) Mostre que:
lim h 0 a^h-1h=ln (a)
b) Mostre pela definição que:
f^prime(x)=a^x cdot ln (a)

Passo 1

O enunciado diz que f(x)=a^x e pede:
a) limhto0a^h-1h
b) mostrar pela definição de derivada que
f'(x)=a^xln(a).
Para isso vamos usar a representação
a^t = e^tln(a)
e o limite clássico
limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Para o item (a) escrevemos
a^h - 1h = e^hln(a) - 1h,,
pois a^h = e^hln(a).

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis u = hln(a), vemos que quando hto0 então uto0 e h = u/ln(a). Assim
e^hln(a) - 1h = e^u - 1u,uh = e^u - 1u,ln(a)
Como limuto0e^u - 1u=1, obtemos
limhto0a^h - 1h = ln(a)

Passo 4

Para o item (b), usamos a definição de derivada:
f'(x) = limhto0f(x+h)-f(x)h = limhto0a^x+h-a^xh
Escrevendo a^x+h=a^x,a^h, fica
a^x+h-a^xh = a^xa^h-1h
Pelo resultado do item (a), limhto0(a^h-1)/h=ln(a). Logo
f'(x)=a^xln(a)

Resposta

a) ln(a)
b) f'(x)=a^xln(a)

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