Se S é a superfície em R^3 dada pela parametrização r(u, v)=(u, v, u^2-2 v), com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1 (e orientação dada pelo vetor ru times rv ), então
integral duplaS(y, x y, z) cdot d S
é igual a
(A) 0 .
(B) 23.
(C) -23.
(D) 13.
(E) -13.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo F(x,y,z)=(y,;x y,;z) através da superfície S parametrizada por
vec r(u,v)=l(u,;v,;u^2-2vr),
com 0<= u<=1, 0<= v<=1 e orientação dada pelo vetor vec rutimesvec rv. Para resolver, vamos:
  1. calcular vec ru e vec rv,
  2. formar vec rutimesvec rv,
  3. avaliar F na parametrização,
  4. fazer o produto escalar Fl(vec r(u,v)r)cdot(vec rutimesvec rv),
  5. integrar sobre o retângulo [0,1]times[0,1],

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
vec ru=(1,;0,;2u),
vec rv=(0,;1,;-2)

Passo 3

Agora o produto vetorial
vec rutimes vec rv = i&j&k 1&0&2u 0&1&-2 =(-2u),i-l(-2r),j+1,k =(-2u,;2,;1)

Passo 4

Avaliaremos o campo em vec r(u,v):
Fl(vec r(u,v)r)=(v,;u v,;u^2-2v)
O produto escalar com vec rutimesvec rv é
Fcdot(vec rutimesvec rv) =vcdot(-2u)+(uv)cdot2+(u^2-2v)cdot1 =-2uv+2uv+u^2-2v =u^2-2v

Passo 5

O fluxo é a integral dupla
integral duplaS Fcdot dS =integralv=0^1integralu=0^1(u^2-2v),du,dv
Primeiro em u:
integral0^1(u^2-2v),du =l[tfracu^33-2v,ur]0^1 =tfrac13-2v
Agora em v:
integral0^1l(tfrac13-2vr),dv =l[tfracv3-v^2r]0^1 =tfrac13-1 =-tfrac23

Resposta

-tfrac23, ou seja, alternativa (C).

Exercícios relacionados