- [1,0 ponto] Uma fábrica de componentes eletrônicos está analisando o tempo necessário para que uma máquina especifica complete a fabricação de um lote. O tempo de fabricação (em horas) é modelado como uma variável aleatória que segue uma distribuiçăo gama com parâmetros
. (a) Qual é a probabilidade de que o tempo de fabricação de um lote seja superior a 6 horas? (b) Determine o tempo de fabricaçăo que delimita os
mais lentos tempos de fabricação.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de fabricação
(em horas) segue a distribuição Gama com parâmetro de forma
e escala
. Precisamos de duas coisas:
– (a) Calcular . Para isso usamos a relação
, onde
é a função-distribuição acumulada (cdf) da Gama.
– (b) Encontrar o valor tal que os
mais lentos correspondem a
, i.e.\
. Como
é inteiro, usaremos a expressão fechada da cdf em termos de somatório.
– (a) Calcular
– (b) Encontrar o valor
Passo 2
A cdf de
com
inteiro pode ser escrita como
Logo
Passo 3
No nosso caso
, então
Além disso
. Portanto
Passo 4
Para achar o tempo
que deixa
% acima, queremos
Defina
. Então a condição vira
Passo 5
Em geral resolvemos isso numericamente. Mas há um atalho: se
, então
. A condição
equivale a
Logo
e daí
Resposta
(a)
(b) O tempo que separa os % mais lentos é aproximadamente
horas.
(b) O tempo que separa os