1. [1,0 ponto] Uma fábrica de componentes eletrônicos está analisando o tempo necessário para que uma máquina especifica complete a fabricação de um lote. O tempo de fabricação (em horas) é modelado como uma variável aleatória que segue uma distribuiçăo gama com parâmetros \alpha=4 \mathrm{e} \beta=1,5. (a) Qual é a probabilidade de que o tempo de fabricação de um lote seja superior a 6 horas? (b) Determine o tempo de fabricaçăo que delimita os 5 \% mais lentos tempos de fabricação.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de fabricação X (em horas) segue a distribuição Gama com parâmetro de forma \alpha=4 e escala \beta=1,5. Precisamos de duas coisas:
– (a) Calcular \Pr(X>6). Para isso usamos a relação \Pr(X>6)=1-F(6), onde F é a função-distribuição acumulada (cdf) da Gama.
– (b) Encontrar o valor x_{0} tal que os 5\% mais lentos correspondem a \Pr(X>x_{0})=0,05, i.e.\ F(x_{0})=0,95. Como \alpha é inteiro, usaremos a expressão fechada da cdf em termos de somatório.

Passo 2

A cdf de X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta) com \alpha inteiro pode ser escrita como
F(x)=1 - e^{-x/\beta}\sum_{k=0}^{\alpha-1}\frac{1}{k!}\Bigl(\frac{x}{\beta}\Bigr)^{k}.
Logo
\Pr(X>6)=1 - F(6) = e^{-6/\beta}\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}\Bigl(\frac{6}{\beta}\Bigr)^{k}.

Passo 3

No nosso caso \beta=1,5, então
\frac{6}{\beta}=\frac{6}{1,5}=4 \quad\text{e}\quad \sum_{k=0}^{3}\frac{4^{k}}{k!} =1 + 4 + \frac{4^{2}}{2!} + \frac{4^{3}}{3!} =1 + 4 + 8 + \frac{64}{6} =23{,}6667.
Além disso e^{-4}\approx0{,}018315. Portanto
\Pr(X>6) = e^{-4}\times23{,}6667 \approx0{,}4335.

Passo 4

Para achar o tempo x_{0} que deixa 5 % acima, queremos
\Pr(X>x_{0})=0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad F(x_{0})=0{,}95.
Defina u = x_{0}/\beta. Então a condição vira
e^{-u}\sum_{k=0}^{3}\frac{u^{k}}{k!}=0{,}05.

Passo 5

Em geral resolvemos isso numericamente. Mas há um atalho: se Y\sim\mathrm{Gamma}(4,1), então 2Y\sim\chi^{2}_{8}. A condição \Pr(Y>u)=0{,}05 equivale a
\Pr\bigl(\chi^{2}_{8}>2u\bigr)=0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad 2u = \chi^{2}_{8}(0{,}95) \approx15{,}507.
Logo
u \approx \frac{15{,}507}{2}=7{,}7535,
e daí
x_{0} = \beta\,u =1{,}5\times7{,}7535 \approx11{,}63\text{ horas}.

Resposta

(a) \Pr(X>6)\approx0,4335.
(b) O tempo que separa os 5 % mais lentos é aproximadamente 11,63 horas.

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