[ 2,5 pontos] Uma corporaçăo tem 12 colaboradores que ocupam funçöes gerenciais. Entre eles, 7 sâo do sexo feminino e 5 săo do sexo masculino. A empresa está planejando enviar 3 desses 12 gerentes a uma conferência no exterior, selecionando aleatoriamente. Qual a probabilidade de que sejam todas do sexo feminino? Qual a probabilidade de que no máximo uma seja do sexo feminino?

Passo 1

O enunciado diz que há 12 gerentes, dos quais 7 são do sexo feminino e 5 do sexo masculino. Vamos escolher aleatoriamente 3 gerentes. O conteúdo aqui é probabilidade discreta com contagem de casos usando coeficientes binomiais, pois estamos sem reposição. Para qualquer evento que dependa de escolher k itens de um total de n, usaremos
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\,.

Passo 2

Primeiro determinamos o número total de maneiras de escolher 3 gerentes dentre 12:
\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!\,9!} = 220.

Passo 3

Para que todas as 3 sejam do sexo feminino, precisamos escolher as 3 dentre as 7 mulheres. O número de casos favoráveis é \binom{7}{3}. Logo,
P(\text{3 femininas}) = \frac{\binom{7}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}.

Passo 4

Para que haja no máximo uma mulher, consideramos dois cenários:
  • zero mulheres e três homens: \binom{7}{0}\binom{5}{3},
  • uma mulher e dois homens: \binom{7}{1}\binom{5}{2}.
    Portanto
P(\le1\text{ mulher}) = \frac{\binom{7}{0}\binom{5}{3} + \binom{7}{1}\binom{5}{2}}{\binom{12}{3}} = \frac{1\cdot10 + 7\cdot10}{220} = \frac{80}{220} = \frac{4}{11}.

Resposta

Probabilidade de as três serem do sexo feminino: \tfrac{7}{44}.
Probabilidade de que no máximo uma seja do sexo feminino: \tfrac{4}{11}.

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