[1 1 / 2 Pontos] Determine as assíntotas horizontais ao gráfico da função f(x)=\frac{6-4 x^{3}}{x^{3}-3 x+2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{6-4x^{3}}{x^{3}-3x+2}
e pede as assíntotas horizontais. Esse conteúdo envolve limites no infinito de funções racionais formadas por polinômios e a regra que, quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a assíntota é a reta
y=\frac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}}.íí

Passo 2

Calcular \lim_{x\to+\infty}f(x). Como numerador e denominador são de grau 3, seus termos de maior grau dominam:
\frac{6-4x^{3}}{x^{3}-3x+2}\sim\frac{-4x^{3}}{x^{3}}=-4.
Logo,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-4.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to-\infty}f(x). O mesmo raciocínio vale para x\to-\infty, pois os termos de grau 3 continuam dominando, e os sinais de x^{3} se cancelam na razão dos coeficientes:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-4.

Resposta

A função tem uma única assíntota horizontal, dada por
y=-4.

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