[11/4 Ponto] \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-3 x^{2}-x+2}{3 x^{3}-2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+2}{3x^{3}-2x+5}.
É um limite de função racional no infinito. Quando temos polinômios no numerador e denominador, o comportamento para x\to\pm\infty é determinado pelos termos de maior grau em cada polinômio.

Passo 2

Para evidenciar os termos de maior grau, dividimos numerador e denominador por x^3, que é o grau máximo:
\frac{x^{3}-3x^{2}-x+2}{3x^{3}-2x+5} =\frac{x^{3}\bigl(1-3/x-1/x^{2}+2/x^{3}\bigr)}{x^{3}\bigl(3-2/x^{2}+5/x^{3}\bigr)} =\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{3-\frac{2}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}}.

Passo 3

Agora, observe que quando x\to -\infty vale
\frac{1}{x}\to 0,\quad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\quad \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Logo todos os termos com essas potências desaparecem no limite.

Passo 4

Substituindo esses valores na fração, obtemos
\lim_{x\to -\infty}\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{3-\frac{2}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}} =\frac{1-0-0+0}{3-0+0} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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