O domínio de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0\le x\le1 e -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le -x.
A função integranda é \sqrt{2-y^{2}}, que depende apenas de y.
Deve-se primeiro descrever o mesmo domínio com y variando primeiro (ou seja, escrever a integral como \displaystyle\int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\int_{x=\text{?}}^{\text{?}}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy) e depois calcular o valor numérico.
Passo 2
Vamos entender geometricamente o domínio dado pelas desigualdades
0\le x\le1,\qquad -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le -x.
Explicando cada desigualdade:
A condição 0\le x\le1 restringe x ao intervalo [0,1].
A curva y=-\sqrt{2-x^{2}} é a metade inferior do círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem: ela existe para x com -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}, e toma valores negativos entre -\sqrt{2} e 0.
A curva y=-x é a reta com declive -1, passando pela origem, com y negativa quando x>0.
Para cada x\in[0,1] o y varia entre a curva inferior y=-\sqrt{2-x^{2}} e a curva superior y=-x. O conjunto projetado no eixo y será um intervalo de valores negativos; vamos determinar esse intervalo global e os limites de x em função de y.
Passo 3
Para inverter a ordem precisamos encontrar, para cada y, quais x satisfazem as duas desigualdades. A condição
-\sqrt{2-x^{2}}\le y
é equivalente (observando que -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le 0 e que a raiz é não negativa) a
Agora precisamos determinar para quais y cada uma dessas três quantidades é a menor. Note que:
Para y no intervalo [-1,0] tem-se -y\in[0,1] e \sqrt{2-y^{2}}\ge\sqrt{2-0}= \sqrt{2}>1, logo \min(1,-y,\sqrt{2-y^{2}})=-y.
Para y no intervalo [-\sqrt{2},-1] tem-se -y\ge1 e \sqrt{2-y^{2}}\le1 (pois em y=-1 a raiz vale 1 e para y mais negativo ela diminui), logo \min(1,-y,\sqrt{2-y^{2}})=\sqrt{2-y^{2}}.
Portanto a projeção do domínio no eixo y é o intervalo [- \sqrt{2},\,0], e há duas faixas naturais que exigem limites diferentes para x:
Para y\in[-\sqrt{2},-1]: 0\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
Para y\in[-1,0]: 0\le x\le -y.
Passo 4
Com isso podemos escrever a integral com a ordem invertida como soma de duas integrais em y:
Observe que a integranda \sqrt{2-y^{2}} não depende de x, então a integração interior em x apenas multiplica pela largura do intervalo em x. Isso é uma simplificação muito útil: se f(y) é independente de x, então
Para y\in[-\sqrt{2},-1] o comprimento em x é \sqrt{2-y^{2}}-0=\sqrt{2-y^{2}}, então o integrando passa a ser \sqrt{2-y^{2}}\cdot\sqrt{2-y^{2}}=2-y^{2}.
Para y\in[-1,0] o comprimento em x é (-y)-0=-y, então o integrando passa a ser \sqrt{2-y^{2}}\cdot(-y)=-y\sqrt{2-y^{2}}.