[1,5 pt.] 1) Inverta a ordem e calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{-x} \sqrt{2-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para: inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{-x}\sqrt{2-y^{2}}\,dy\,dx
e em seguida calcular o valor dessa integral.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0\le x\le1 e -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le -x.
  • A função integranda é \sqrt{2-y^{2}}, que depende apenas de y.
  • Deve-se primeiro descrever o mesmo domínio com y variando primeiro (ou seja, escrever a integral como \displaystyle\int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\int_{x=\text{?}}^{\text{?}}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy) e depois calcular o valor numérico.

Passo 2

Vamos entender geometricamente o domínio dado pelas desigualdades
0\le x\le1,\qquad -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le -x.
Explicando cada desigualdade:
  • A condição 0\le x\le1 restringe x ao intervalo [0,1].
  • A curva y=-\sqrt{2-x^{2}} é a metade inferior do círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem: ela existe para x com -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}, e toma valores negativos entre -\sqrt{2} e 0.
  • A curva y=-x é a reta com declive -1, passando pela origem, com y negativa quando x>0.
Para cada x\in[0,1] o y varia entre a curva inferior y=-\sqrt{2-x^{2}} e a curva superior y=-x. O conjunto projetado no eixo y será um intervalo de valores negativos; vamos determinar esse intervalo global e os limites de x em função de y.

Passo 3

Para inverter a ordem precisamos encontrar, para cada y, quais x satisfazem as duas desigualdades. A condição
-\sqrt{2-x^{2}}\le y
é equivalente (observando que -\sqrt{2-x^{2}}\le y\le 0 e que a raiz é não negativa) a
x^{2}\le 2-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{2-y^{2}},
pois estamos com x\ge0.
A outra condição y\le -x é equivalente a x\le -y (lembre que aqui y\le0, então -y\ge0). Juntando com 0\le x\le1 obtemos para um dado y a condição
0\le x\le \min\bigl(1,\,-y,\;\sqrt{2-y^{2}}\bigr).
Agora precisamos determinar para quais y cada uma dessas três quantidades é a menor. Note que:
  • Para y no intervalo [-1,0] tem-se -y\in[0,1] e \sqrt{2-y^{2}}\ge\sqrt{2-0}= \sqrt{2}>1, logo \min(1,-y,\sqrt{2-y^{2}})=-y.
  • Para y no intervalo [-\sqrt{2},-1] tem-se -y\ge1 e \sqrt{2-y^{2}}\le1 (pois em y=-1 a raiz vale 1 e para y mais negativo ela diminui), logo \min(1,-y,\sqrt{2-y^{2}})=\sqrt{2-y^{2}}.
Portanto a projeção do domínio no eixo y é o intervalo [- \sqrt{2},\,0], e há duas faixas naturais que exigem limites diferentes para x:
  • Para y\in[-\sqrt{2},-1]: 0\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
  • Para y\in[-1,0]: 0\le x\le -y.

Passo 4

Com isso podemos escrever a integral com a ordem invertida como soma de duas integrais em y:
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{-x}\sqrt{2-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{y=-\sqrt{2}}^{-1}\int_{x=0}^{\sqrt{2-y^{2}}}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy + \int_{y=-1}^{0}\int_{x=0}^{-y}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy.
Observe que a integranda \sqrt{2-y^{2}} não depende de x, então a integração interior em x apenas multiplica pela largura do intervalo em x. Isso é uma simplificação muito útil: se f(y) é independente de x, então
\int_{x=a(y)}^{b(y)} f(y)\,dx = f(y)\bigl(b(y)-a(y)\bigr).
Aplicando isso aos dois termos:
  • Para y\in[-\sqrt{2},-1] o comprimento em x é \sqrt{2-y^{2}}-0=\sqrt{2-y^{2}}, então o integrando passa a ser \sqrt{2-y^{2}}\cdot\sqrt{2-y^{2}}=2-y^{2}.
  • Para y\in[-1,0] o comprimento em x é (-y)-0=-y, então o integrando passa a ser \sqrt{2-y^{2}}\cdot(-y)=-y\sqrt{2-y^{2}}.
Assim a integral torna-se
I=\int_{-\sqrt{2}}^{-1}(2-y^{2})\,dy+\int_{-1}^{0}\bigl(-y\sqrt{2-y^{2}}\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculemos a primeira integral explicitamente:
\int(2-y^{2})\,dy=2y-\frac{y^{3}}{3}.
Avaliação de -\sqrt{2} até -1:
\Bigl(2y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr)\Big|_{y=-\sqrt{2}}^{y=-1} = \Bigl(2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}\Bigr)-\Bigl(2(-\sqrt{2})-\frac{(-\sqrt{2})^{3}}{3}\Bigr).
Calcule cada termo:
2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=-2+\frac{1}{3}=-\frac{5}{3},
2(-\sqrt{2})-\frac{(-\sqrt{2})^{3}}{3}=-2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=-\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Subtraindo:
\int_{-\sqrt{2}}^{-1}(2-y^{2})\,dy = -\frac{5}{3} -\Bigl(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\Bigr)=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}.

Passo 6

Agora a segunda integral. Use a substituição simples para lidar com -y\sqrt{2-y^{2}}. Seja
u=2-y^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2y\,dy\quad\Rightarrow\quad -y\,dy=\frac{du}{2}.
Quando y=-1, u=2-1=1. Quando y=0, u=2. Assim
\int_{-1}^{0}\bigl(-y\sqrt{2-y^{2}}\bigr)\,dy = \int_{u=1}^{2}\frac{1}{2}u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{1}^{2} = \frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Como 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}, obtemos
\int_{-1}^{0}\bigl(-y\sqrt{2-y^{2}}\bigr)\,dy = \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 7

Some as duas contribuições:
I=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}+\frac{2\sqrt{2}-1}{3} =\frac{(4\sqrt{2}+2\sqrt{2})-(5+1)}{3} =\frac{6\sqrt{2}-6}{3}=2\sqrt{2}-2.
Podemos também escrever de forma factorizada:
I=2(\sqrt{2}-1).

Resposta

2\sqrt{2}-2

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