QUESTÃO 02 : Justificando, avalie os limites.
(iii) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)\) onde \(f(x)= \begin{cases}x+1, & \text { se } x<0 \\\ x^{2}+2 x+1, & \text { se } x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} f(x)
onde a função é dada por
f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{se } x<0,\\[4pt] x^{2}+2x+1, & \text{se } x>0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida por duas fórmulas diferentes para os lados esquerdo e direito de 0.
  • Não foi dada a definição de f(0) (o valor de f em x=0 não aparece).
  • A pergunta é apenas sobre o limite quando x se aproxima de 0.]

Passo 2

Entendimento do que é necessário: para que exista \lim_{x\to 0} f(x) é necessário e suficiente que os limites laterais coincidam:
  • o limite à esquerda \lim_{x\to 0^-} f(x), e
  • o limite à direita \lim_{x\to 0^+} f(x).
    Se esses dois limites existirem e forem iguais a um mesmo número L, então \lim_{x\to 0} f(x)=L. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Cálculo do limite à esquerda. Para x<0 vale f(x)=x+1. Funções lineares do tipo x+1 são contínuas em todo ponto, ou seja, o limite ao se aproximar de qualquer ponto é obtido apenas substituindo o ponto na expressão. Logo,
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x+1)=0+1=1.
Explicação simples: à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda, o termo x vai para 0, então x+1 vai para 1.

Passo 4

Cálculo do limite à direita. Para x>0 vale f(x)=x^{2}+2x+1. Observe que
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Polinômios são funções contínuas, portanto o limite ao aproximar x de 0 pela direita também se obtém por substituição:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (x+1)^{2}=(0+1)^{2}=1.
Intuição: tanto o termo x quanto x^{2} vão para 0 quando x\to 0, sobrando 1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite total. Como
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=1,
os limites laterais coincidem. Portanto o limite de f quando x tende a 0 existe e é igual a 1:
\lim_{x\to 0} f(x)=1.
Observação prática para a prova: quando a função é definida por partes, calcule sempre os limites laterais; se forem iguais, esse é o limite. Não importa se f(0) está definido ou não — o limite depende apenas do comportamento das expressões ao redor de 0.

Resposta

1

Exercícios relacionados