QUESTÃO 02 : Justificando, avalie os limites.
(ii) \lim _{x \rightarrow 0} 3^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 0} 3^{x}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • A base 3 é um número real positivo diferente de 1.
  • A variável x tende para 0.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Uma identidade útil e padrão para potências com expoente real é escrever a potência na base e (exponencial natural). Vou usar a igualdade
3^{x}=e^{x\ln 3},
onde \ln 3 é o logaritmo natural de 3. Explicando: \ln 3 é um número fixo (constante) tal que e^{\ln 3}=3; portanto elevar e à potência x\ln 3 dá exatamente 3^{x}. Essa reescrita costuma facilitar limites porque a função exponencial e^{t} tem propriedades de limite bem conhecidas.

Passo 3

Agora analiso o argumento do exponencial na forma e^{x\ln 3}. Primeiro calculemos o limite do expoente:
\lim_{x\to 0} x\ln 3.
Aqui \ln 3 é uma constante. Pelo lema básico de limites (produto de uma constante por uma função), como \lim_{x\to 0} x = 0, segue que
\lim_{x\to 0} x\ln 3 = (\ln 3)\cdot \lim_{x\to 0} x = (\ln 3)\cdot 0 = 0.
Então o expoente tende para 0.

Passo 4

Usando a continuidade da função exponencial: a função t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}. A definição prática de continuidade aqui é: se \lim_{x\to 0} g(x)=0 então \lim_{x\to 0} e^{g(x)}=e^{0}. Aplicando isso ao nosso caso com g(x)=x\ln3, como vimos \lim_{x\to 0} g(x)=0, temos
\lim_{x\to 0} e^{x\ln 3}=e^{0}.
Explicação curta por que a exponencial é contínua (sem entrar em provas longas): a exponencial pode ser definida por uma série convergente ou por suas propriedades fundamentais e é conhecida por transformar convergência de argumentos em convergência de valores; por isso é legítimo trocar limite e aplicação da função exponencial.

Passo 5

Como e^{0}=1, concluímos que
\lim_{x\to 0} 3^{x}=\lim_{x\to 0} e^{x\ln 3}=e^{0}=1.
Intuitivamente: quando x fica muito próximo de 0, 3^{x} fica muito próximo de 3^{0}=1, e a continuidade formaliza essa ideia.

Resposta

\,1\,

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