QUESTÃO 02 : Justificando, avalie os limites.
(ii)
.
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o seguinte limite:
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- A base
é um número real positivo diferente de . - A variável
tende para .
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Uma identidade útil e padrão para potências com expoente real é escrever a potência na base
(exponencial natural). Vou usar a igualdade
onde
é o logaritmo natural de
. Explicando:
é um número fixo (constante) tal que
; portanto elevar
à potência
dá exatamente
. Essa reescrita costuma facilitar limites porque a função exponencial
tem propriedades de limite bem conhecidas.
Passo 3
Agora analiso o argumento do exponencial na forma
. Primeiro calculemos o limite do expoente:
Aqui
é uma constante. Pelo lema básico de limites (produto de uma constante por uma função), como
, segue que
Então o expoente tende para
.
Passo 4
Usando a continuidade da função exponencial: a função
é contínua em todo
. A definição prática de continuidade aqui é: se
então
. Aplicando isso ao nosso caso com
, como vimos
, temos
Explicação curta por que a exponencial é contínua (sem entrar em provas longas): a exponencial pode ser definida por uma série convergente ou por suas propriedades fundamentais e é conhecida por transformar convergência de argumentos em convergência de valores; por isso é legítimo trocar limite e aplicação da função exponencial.
Passo 5
Como
, concluímos que
Intuitivamente: quando
fica muito próximo de
,
fica muito próximo de
, e a continuidade formaliza essa ideia.