[1.] Resolva a seguinte EDO de segunda ordem
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x-2, \quad \text { em } \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x\,y''+y'=x-2,\qquad x>0.
Informações e o que é pedido:
  • A equação é dada para x>0.
  • A incógnita é a função y(x).
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x) (contendo duas constantes arbitrárias), válida para x>0.
  • Os termos fornecidos são: coeficiente de y'' igual a x, termo de y' igual a 1 (multiplicando y') e termo fonte x-2.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática e intuitiva).
  • A equação é de segunda ordem, mas só aparecem y'' e y' (não aparece y sem derivada). Isso nos permite reduzir a ordem: definir uma nova função p(x)=y'(x). Assim conseguimos transformar a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para p(x).
  • Esse procedimento é bem comum: se a equação envolve apenas y'' e y', podemos tratar y' como uma função nova e resolver uma EDO de primeira ordem para ela. Depois integramos para obter y.
  • Vou aplicar isso aqui: definir p(x)=y'(x) e resolver a EDO de primeira ordem resultante.

Passo 3

Fazer a substituição e arrumar a equação para p(x).
  • Defina p(x)=y'(x). Então p'(x)=y''(x).
  • Substituindo na equação original obtemos
x\,p'(x)+p(x)=x-2.
  • Essa é uma equação linear de primeira ordem para p(x). Colocando na forma padrão
p'(x)+\frac{1}{x}\,p(x)=1-\frac{2}{x}.
Agora vamos resolver essa EDO linear usando fator integrante.

Passo 4

Lição rápida: como resolver uma EDO linear de primeira ordem com fator integrante.
  • Uma EDO linear da forma \,p'+a(x)p=b(x)\, tem solução encontrada multiplicando por um fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int a(x)\,dx\big). Depois a equação se transforma em \dfrac{d}{dx}\big(\mu p\big)=\mu b, daí integra-se.
  • No nosso caso a(x)=\dfrac{1}{x}. Então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
válido para x>0 (por isso o domínio importa: garante \ln x bem definido).
  • Multiplicando a equação por \mu(x)=x obtemos
x\,p'(x)+p(x)=x\left(1-\frac{2}{x}\right)=x-2.
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,p(x), ou seja
\frac{d}{dx}\big(x\,p(x)\big)=x-2.

Passo 5

Integrar a equação para encontrar p(x)=y'(x).
  • Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,p(x)=\int (x-2)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-2x+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.
  • Portanto
p(x)=y'(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{x^{2}}{2}-2x+C_{1}\right)=\frac{x}{2}-2+\frac{C_{1}}{x}.
  • Aqui expliquei cada termo: \dfrac{x^{2}}{2x}=\dfrac{x}{2}, -\dfrac{2x}{x}=-2 e \dfrac{C_{1}}{x} permanece como termo com 1/x.

Passo 6

Integrar novamente para obter y(x). (Regras de integração usadas e por quê)
  • Agora temos y'(x)=\dfrac{x}{2}-2+\dfrac{C_{1}}{x}. Integramos termo a termo.
  • Lembrando integrais básicas:
    • \displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
    • \displaystyle \int (-2)\,dx=-2x.
    • \displaystyle \int \frac{C_{1}}{x}\,dx=C_{1}\int\frac{1}{x}\,dx=C_{1}\ln x (novamente válido porque x>0).
  • Assim, a primitiva geral é
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-2x+C_{1}\ln x+C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante de integração. Essas duas constantes C_{1},C_{2} representam a família geral de soluções da EDO de segunda ordem.

Passo 7

Verificação rápida (são passos simples e ajudam a ganhar confiança).
  • Calcule y'(x) a partir da solução proposta:
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{4}-2x+C_{1}\ln x+C_{2}\right)=\frac{x}{2}-2+\frac{C_{1}}{x},
que coincide com o y'(x) que obtivemos antes.
  • Calcule y''(x):
y''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{2}-2+\frac{C_{1}}{x}\right)=\frac{1}{2}-\frac{C_{1}}{x^{2}}.
  • Substituindo na equação original x y''+y':
x\left(\frac{1}{2}-\frac{C_{1}}{x^{2}}\right)+\left(\frac{x}{2}-2+\frac{C_{1}}{x}\right)=\frac{x}{2}-\frac{C_{1}}{x}+\frac{x}{2}-2+\frac{C_{1}}{x}=x-2,
os termos com C_{1} se cancelam e ficamos com x-2, que é exatamente o lado direito. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{4}-2x+C_{1}\ln x+C_{2},\qquad x>0,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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