[1.] Resolva a seguinte EDO de segunda ordem
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
Informações e o que é pedido:
- A equação é dada para
. - A incógnita é a função
. - Deve-se encontrar a solução geral
(contendo duas constantes arbitrárias), válida para . - Os termos fornecidos são: coeficiente de
igual a , termo de igual a (multiplicando ) e termo fonte .
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática e intuitiva).
- A equação é de segunda ordem, mas só aparecem
e (não aparece sem derivada). Isso nos permite reduzir a ordem: definir uma nova função . Assim conseguimos transformar a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para . - Esse procedimento é bem comum: se a equação envolve apenas
e , podemos tratar como uma função nova e resolver uma EDO de primeira ordem para ela. Depois integramos para obter . - Vou aplicar isso aqui: definir
e resolver a EDO de primeira ordem resultante.
Passo 3
Fazer a substituição e arrumar a equação para
.
- Defina
. Então . - Substituindo na equação original obtemos
- Essa é uma equação linear de primeira ordem para
. Colocando na forma padrão
Agora vamos resolver essa EDO linear usando fator integrante.
Passo 4
Lição rápida: como resolver uma EDO linear de primeira ordem com fator integrante.
- Uma EDO linear da forma
tem solução encontrada multiplicando por um fator integrante . Depois a equação se transforma em , daí integra-se. - No nosso caso
. Então o fator integrante é
válido para
(por isso o domínio importa: garante
bem definido).
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, ou seja
Passo 5
Integrar a equação para encontrar
.
- Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
- Portanto
- Aqui expliquei cada termo:
, e permanece como termo com .
Passo 6
Integrar novamente para obter
. (Regras de integração usadas e por quê)
- Agora temos
. Integramos termo a termo. - Lembrando integrais básicas:
-
. -
. -
(novamente válido porque ).
-
- Assim, a primitiva geral é
onde
é uma segunda constante de integração. Essas duas constantes
representam a família geral de soluções da EDO de segunda ordem.
Passo 7
Verificação rápida (são passos simples e ajudam a ganhar confiança).
- Calcule
a partir da solução proposta:
que coincide com o
que obtivemos antes.
- Calcule
:
- Substituindo na equação original
:
os termos com
se cancelam e ficamos com
, que é exatamente o lado direito. Logo a solução está correta.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.