Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - A equação pode ser reescrita como
- Pergunta: encontrar a solução geral
(família de soluções com constante arbitrária). - Observação importante: a equação é de primeira ordem e envolve potências de
; presume-se (pois há termo ).
Passo 2
Reconhecendo o tipo de equação e a substituição usual.
- A equação está na forma de Bernoulli
com
- Regra da equação de Bernoulli: fazer a substituição
Aqui
. Portanto escolhemos
Agora vamos relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Isolando
obtemos
Mas é mais prático usar a forma padrão da transformação (derivação direta da fórmula conhecida): para Bernoulli vale
Substituindo
e
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Resolver a equação linear em
:
- É uma equação linear de primeira ordem com coeficiente
. Calculamos o fator integrante :
Para
podemos escrever
(tomando o sinal adequado do domínio).
- Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária de integração.
- Isolando
:
Passo 4
Voltar à variável original
.
- Lembrando que
, temos
- Para obter
, elevamos ambos os lados à potência :
- Observação sobre domínio: como
para real, a quantidade dentro dos colchetes deve ser não negativa para que a solução real faça sentido; isso impõe restrição sobre e sobre . Em qualquer caso a expressão acima representa a família de soluções gerais (com arbitrária).
Passo 5
Resumo final da forma da solução e nota sobre a constante.
- A constante
pode ser renomeada (por exemplo ); a expressão encontrada é a solução geral implícita explicitada em .