Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
y^{\prime}-\frac{3}{x} y=x 4 \sqrt[3]{y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' - \frac{3}{x}\,y = x\,4\sqrt[3]{y}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação pode ser reescrita como
y' - \frac{3}{x}\,y = 4x\,y^{\tfrac{1}{3}}.
  • Pergunta: encontrar a solução geral y(x) (família de soluções com constante arbitrária).
  • Observação importante: a equação é de primeira ordem e envolve potências de y; presume-se x\neq0 (pois há termo \tfrac{3}{x}).

Passo 2

Reconhecendo o tipo de equação e a substituição usual.
  • A equação está na forma de Bernoulli
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n},
com
p(x) = -\frac{3}{x},\qquad q(x)=4x,\qquad n=\tfrac{1}{3}.
  • Regra da equação de Bernoulli: fazer a substituição
v = y^{\,1-n}.
Aqui 1-n = 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Portanto escolhemos
v = y^{\tfrac{2}{3}}.
Agora vamos relacionar v' com y'. Diferenciando v em relação a x usando a regra da cadeia:
v' = \frac{2}{3}\,y^{-\tfrac{1}{3}}\,y'.
Isolando y' obtemos
y' = \frac{3}{2}\,y^{\tfrac{1}{3}}\,v'.
Mas é mais prático usar a forma padrão da transformação (derivação direta da fórmula conhecida): para Bernoulli vale
v' + (1-n)\,p(x)\,v = (1-n)\,q(x).
Substituindo n=\tfrac{1}{3} e p,q:
v' + \frac{2}{3}\left(-\frac{3}{x}\right)v = \frac{2}{3}\cdot 4x.
Simplificando os coeficientes:
v' - \frac{2}{x}\,v = \frac{8}{3}\,x.

Passo 3

Resolver a equação linear em v:
v' - \frac{2}{x}\,v = \frac{8}{3}\,x.
  • É uma equação linear de primeira ordem com coeficiente -\tfrac{2}{x}. Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(-2\ln|x|)=|x|^{-2}.
Para x\neq0 podemos escrever \mu(x)=x^{-2} (tomando o sinal adequado do domínio).
  • Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}v' - \frac{2}{x}x^{-2}v = x^{-2}\cdot\frac{8}{3}x.
O lado esquerdo é a derivada do produto (x^{-2}v)'. Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}v\big) = \frac{8}{3}\,x^{-1}.
  • Integramos ambos os lados em x:
x^{-2}v = \frac{8}{3}\int x^{-1}\,dx = \frac{8}{3}\ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração.
  • Isolando v:
v = x^{2}\!\left(\frac{8}{3}\ln|x| + C\right).

Passo 4

Voltar à variável original y.
  • Lembrando que v = y^{\tfrac{2}{3}}, temos
y^{\tfrac{2}{3}} = x^{2}\!\left(\frac{8}{3}\ln|x| + C\right).
  • Para obter y, elevamos ambos os lados à potência \tfrac{3}{2}:
y = \left[x^{2}\!\left(\frac{8}{3}\ln|x| + C\right)\right]^{\tfrac{3}{2}}.
  • Observação sobre domínio: como y^{\tfrac{2}{3}}\ge0 para y real, a quantidade dentro dos colchetes deve ser não negativa para que a solução real faça sentido; isso impõe restrição sobre C e sobre x. Em qualquer caso a expressão acima representa a família de soluções gerais (com C arbitrária).

Passo 5

Resumo final da forma da solução e nota sobre a constante.
  • A constante C pode ser renomeada (por exemplo C=C_1); a expressão encontrada é a solução geral implícita explicitada em y(x).

Resposta

y(x)=\left[x^{2}\!\left(\frac{8}{3}\ln|x| + C\right)\right]^{\tfrac{3}{2}}

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