[3.] Considere a equação de Ricatti,
y^{\prime}+x^{3} y-x^{2} y^{2}=1
Verifique que \phi_{2}(t)=x é uma solução. As outras soluções são da forma \varphi(x)=\phi_{2}(x)+z(x) sendo z(x) uma solução da equação de Bernoulli,
z^{\prime}-x^{3} z-x^{2} z^{2}=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y^{\prime}+x^{3}y-x^{2}y^{2}=1
e pede duas coisas: (1) verificar que \phi_{2}(x)=x é uma solução; (2) mostrar que as outras soluções têm a forma \varphi(x)=\phi_{2}(x)+z(x)=x+z(x) onde z(x) satisfaz a equação de Bernoulli
z^{\prime}-x^{3}z-x^{2}z^{2}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial não linear dada.
  • Uma função candidata \phi_{2}(x)=x que deve ser verificada como solução.
  • A forma proposta para outras soluções: y=x+z(x) e a equação que z deveria satisfazer.

Passo 2

Verificação direta de que \phi_{2}(x)=x é solução. Primeiro calculo a derivada de \phi_{2}:
\phi_{2}^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
Agora substituo y=\phi_{2}(x)=x na equação dada:
y^{\prime}+x^{3}y-x^{2}y^{2} = 1 + x^{3}\cdot x - x^{2}\cdot x^{2}.
Faço as multiplicações:
1 + x^{4} - x^{4} = 1.
Como o lado esquerdo fica igual a 1, a equação é satisfeita. Portanto \phi_{2}(x)=x é de fato uma solução.

Passo 3

Derivar a equação que z(x) deve satisfazer usando a substituição y(x)=\phi_{2}(x)+z(x)=x+z(x).
Calculo y^{\prime}:
y^{\prime}=\frac{d}{dx}(x+z)=1+z^{\prime}.
Substituo y e y' na equação original:
1+z^{\prime}+x^{3}(x+z)-x^{2}(x+z)^{2}=1.
Cancelo o 1 em ambos os lados:
z^{\prime}+x^{3}(x+z)-x^{2}(x+z)^{2}=0.
Agora expando os termos com cuidado:
x^{3}(x+z)=x^{4}+x^{3}z, \qquad (x+z)^{2}=x^{2}+2xz+z^{2},
então
x^{2}(x+z)^{2}=x^{2}(x^{2}+2xz+z^{2})=x^{4}+2x^{3}z+x^{2}z^{2}.
Substituindo essas expansões na expressão acima:
z^{\prime}+\bigl(x^{4}+x^{3}z\bigr)-\bigl(x^{4}+2x^{3}z+x^{2}z^{2}\bigr)=0.
Simplifico cancelando x^{4} e reunindo termos semejantes:
z^{\prime}+x^{3}z-2x^{3}z-x^{2}z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z^{\prime}-x^{3}z-x^{2}z^{2}=0.
Portanto, com a substituição y=x+z obtemos exatamente a equação de Bernoulli indicada:
z^{\prime}-x^{3}z-x^{2}z^{2}=0.

Passo 4

Explicação didática: o que é uma equação de Bernoulli e como se resolve (passo a passo).
  • A equação de Bernoulli tem a forma geral
z^{\prime}+P(x)z=Q(x)z^{n},
onde n\neq 0,1. No nosso caso podemos escrever a equação obtida como
z^{\prime}-x^{3}z=x^{2}z^{2},
ou seja P(x)=-x^{3}, Q(x)=x^{2} e n=2.
  • A técnica padrão é usar a substituição
u=z^{1-n}=z^{1-2}=z^{-1}=\frac{1}{z},
que transforma a Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem para u. Vou mostrar isso explicitamente.
Calculo u' em termos de z:
u=\frac{1}{z}\quad\Rightarrow\quad u'=-\frac{z'}{z^{2}}.
Agora uso a equação para z', que é z' = x^{3}z + x^{2}z^{2}, e substituo:
u'=-\frac{x^{3}z + x^{2}z^{2}}{z^{2}}=-\frac{x^{3}z}{z^{2}}-\frac{x^{2}z^{2}}{z^{2}}=-x^{3}u - x^{2}.
Reescrevendo:
u' + x^{3}u = -x^{2}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma u' + p(x)u = q(x) com p(x)=x^{3} e q(x)=-x^{2}.

Passo 5

Resolver a equação linear para u pelo fator integrante.
  • O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\left(\int x^{3}\,dx\right)=\exp\left(\frac{x^{4}}{4}\right).
  • Multiplicando a equação linear por \mu(x) obtemos uma derivada exata:
\bigl(\mu u\bigr)'=\mu\,q(x)= -x^{2}e^{x^{4}/4}.
  • Integro ambos os lados:
\mu(x)u(x) = -\int x^{2}e^{x^{4}/4}\,dx + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Para escrever de forma explícita, uso uma variável de integração t no integral indefinido:
u(x)=e^{-x^{4}/4}\left(C - \int^{x} t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt\right).
(Obs.: o integral \int t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt não tem primitiva elementar simples, por isso o deixamos na forma de integral definida; a constante C incorpora a escolha da constante de integração e do limite inferior.)

Passo 6

Volto para z e para a solução y.
  • Como u=1/z, temos
z(x)=\frac{1}{u(x)}=\frac{1}{\,e^{-x^{4}/4}\left(C - \displaystyle\int^{x} t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt\right)\,} = \frac{e^{x^{4}/4}}{C - \displaystyle\int^{x} t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt}.
  • Portanto as soluções gerais da equação original são
y(x)=x+z(x)=x+\frac{e^{x^{4}/4}}{C - \displaystyle\int^{x} t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt},
com C constante arbitrária (e tomando cuidado para que o denominador não zere no intervalo considerado).

Resposta

\phi_{2}(x)=x é solução pois 1+x^{3}x-x^{2}x^{2}=1.
As demais soluções são \varphi(x)=x+z(x) onde z satisfaz \;z^{\prime}-x^{3}z-x^{2}z^{2}=0, e a solução geral pode ser escrita como
y(x)=x+\frac{e^{x^{4}/4}}{C-\displaystyle\int^{x} t^{2}e^{t^{4}/4}\,dt},
com C constante arbitrária.

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