[3.] Considere a equação de Ricatti,
Verifique que
é uma solução. As outras soluções são da forma
sendo
uma solução da equação de Bernoulli,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e pede duas coisas: (1) verificar que
é uma solução; (2) mostrar que as outras soluções têm a forma
onde
satisfaz a equação de Bernoulli
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial não linear dada.
- Uma função candidata
que deve ser verificada como solução. - A forma proposta para outras soluções:
e a equação que deveria satisfazer.
Passo 2
Verificação direta de que
é solução. Primeiro calculo a derivada de
:
Agora substituo
na equação dada:
Faço as multiplicações:
Como o lado esquerdo fica igual a
, a equação é satisfeita. Portanto
é de fato uma solução.
Passo 3
Derivar a equação que
deve satisfazer usando a substituição
.
Calculo
:
Substituo
e
na equação original:
Cancelo o
em ambos os lados:
Agora expando os termos com cuidado:
então
Substituindo essas expansões na expressão acima:
Simplifico cancelando
e reunindo termos semejantes:
Portanto, com a substituição
obtemos exatamente a equação de Bernoulli indicada:
Passo 4
Explicação didática: o que é uma equação de Bernoulli e como se resolve (passo a passo).
- A equação de Bernoulli tem a forma geral
onde
. No nosso caso podemos escrever a equação obtida como
ou seja
,
e
.
- A técnica padrão é usar a substituição
que transforma a Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem para
. Vou mostrar isso explicitamente.
Calculo
em termos de
:
Agora uso a equação para
, que é
, e substituo:
Reescrevendo:
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma
com
e
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
pelo fator integrante.
- O fator integrante
é
- Multiplicando a equação linear por
obtemos uma derivada exata:
- Integro ambos os lados:
onde
é constante arbitrária de integração. Para escrever de forma explícita, uso uma variável de integração
no integral indefinido:
(Obs.: o integral
não tem primitiva elementar simples, por isso o deixamos na forma de integral definida; a constante
incorpora a escolha da constante de integração e do limite inferior.)
Passo 6
Volto para
e para a solução
.
- Como
, temos
- Portanto as soluções gerais da equação original são
com
constante arbitrária (e tomando cuidado para que o denominador não zere no intervalo considerado).
Resposta
As demais soluções são
com
constante arbitrária.