[1.] Resolver a seguinte EDO,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
O que foi dado:
- A relação diferencial entre
e é . - Queremos encontrar a família de soluções
(a solução geral), ou seja, uma expressão que relacione e contendo uma constante arbitrária.
Observações iniciais importantes (sem resolver ainda):
- Para manipular a equação dividindo por
, ou é preciso considerar os casos em que essas quantidades são zero. Vou tratar esses detalhes ao longo da resolução. - A solução geral deve contemplar também a possibilidade de
quando apropriado.
Passo 2
Transformar a equação para a forma
. Isso é feito dividindo ambos os lados por
(assumindo que estamos procurando soluções em partes onde
faz sentido):
Reorganizando,
Aqui, para escrever
é conveniente assumir momentaneamente
. Depois verificamos o caso
se necessário.
Explicação didática: escrever
é interpretar a equação diferencial como uma relação entre a derivada de
em relação a
e o próprio
e
. É a forma mais comum para aplicar técnicas como separação de variáveis.
Passo 3
Reconhecer que a equação é separável. Uma equação do tipo
pode ser resolvida separando as variáveis
e
em lados opostos. Aqui temos
portanto podemos separar
e
escrevendo
desde que
e
. A ideia da separação é colocar tudo que depende de
com
e tudo que depende de
com
para poder integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vamos integrar as duas expressões obtidas:
As integrais são logaritmos naturais (lembrando que
):
onde
é a constante de integração (real).
Explicação didática: o uso das barras absolutas
é necessário porque o logaritmo natural
só aceita argumentos positivos; a solução geral precisa permitir
ou
negativos, por isso mantemos
e
.
Passo 5
Simplificar a expressão obtida. Subtrair
dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Exponentiando (aplicando
aos dois lados) dá
Defina
. Temos
. Agora removemos os módulos permitindo uma constante arbitrária que pode ser positiva, negativa ou zero: escrevemos
onde
é uma constante real arbitrária (aqui
pode assumir qualquer valor em
, incluindo
). Esse passo é padrão: o fator de sinal pode ser absorvido em
.
Comentário didático: autorizar
é equivalente a dizer que
é constante ao longo da solução.
Passo 6
Verificar a solução e tratar casos especiais. Substituindo
na equação original:
logo a expressão satisfaz a equação para qualquer constante
. O caso
corresponde a
e está incluído na família
.
Também vale notar que a dedução usou divisão por
e
em passos intermediários; no final a família
é válida globalmente como solução geral, com a interpretação usual em cada intervalo onde a solução é definida.
Passo 7
Método alternativo (curtinho e elegante): observar que a diferencial do quociente
é
Como a equação original diz que
, segue que
. Isso implica que
é constante, ou seja
, o que leva diretamente a
. Esse argumento evita integrais explícitas e é uma boa dica rápida na prova.