[1.] Resolver a seguinte EDO,
x d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,dy - y\,dx = 0.
O que foi dado:
  • A relação diferencial entre x e y é \;x\,dy - y\,dx = 0.
  • Queremos encontrar a família de soluções y(x) (a solução geral), ou seja, uma expressão que relacione y e x contendo uma constante arbitrária.
Observações iniciais importantes (sem resolver ainda):
  • Para manipular a equação dividindo por x, y ou dx é preciso considerar os casos em que essas quantidades são zero. Vou tratar esses detalhes ao longo da resolução.
  • A solução geral deve contemplar também a possibilidade de y\equiv 0 quando apropriado.

Passo 2

Transformar a equação para a forma dy/dx. Isso é feito dividindo ambos os lados por dx (assumindo que estamos procurando soluções em partes onde dx faz sentido):
x\,\frac{dy}{dx} - y = 0.
Reorganizando,
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.
Aqui, para escrever \frac{y}{x} é conveniente assumir momentaneamente x\neq 0. Depois verificamos o caso x=0 se necessário.
Explicação didática: escrever \frac{dy}{dx} é interpretar a equação diferencial como uma relação entre a derivada de y em relação a x e o próprio y e x. É a forma mais comum para aplicar técnicas como separação de variáveis.

Passo 3

Reconhecer que a equação é separável. Uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y) pode ser resolvida separando as variáveis y e x em lados opostos. Aqui temos
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} = \left(\frac{1}{x}\right)\,y,
portanto podemos separar y e x escrevendo
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx,
desde que y\neq 0 e x\neq 0. A ideia da separação é colocar tudo que depende de y com dy e tudo que depende de x com dx para poder integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vamos integrar as duas expressões obtidas:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx.
As integrais são logaritmos naturais (lembrando que \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C):
\ln|y| = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (real).
Explicação didática: o uso das barras absolutas |\cdot| é necessário porque o logaritmo natural \ln só aceita argumentos positivos; a solução geral precisa permitir x ou y negativos, por isso mantemos |y| e |x|.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida. Subtrair \ln|x| dos dois lados:
\ln|y| - \ln|x| = C.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), obtemos
\ln\!\left(\frac{|y|}{|x|}\right) = C.
Exponentiando (aplicando e^{(\cdot)} aos dois lados) dá
\frac{|y|}{|x|} = e^{C}.
Defina K = e^{C}>0. Temos |y| = K\,|x|. Agora removemos os módulos permitindo uma constante arbitrária que pode ser positiva, negativa ou zero: escrevemos
y = C_1\,x,
onde C_1 é uma constante real arbitrária (aqui C_1 pode assumir qualquer valor em \mathbb{R}, incluindo 0). Esse passo é padrão: o fator de sinal pode ser absorvido em C_1.
Comentário didático: autorizar C_1\in\mathbb{R} é equivalente a dizer que y/x é constante ao longo da solução.

Passo 6

Verificar a solução e tratar casos especiais. Substituindo y=C_1 x na equação original:
x\,d(C_1 x) - (C_1 x)\,dx = x\,(C_1\,dx) - C_1 x\,dx = 0,
logo a expressão satisfaz a equação para qualquer constante C_1. O caso y\equiv 0 corresponde a C_1=0 e está incluído na família y=C_1 x.
Também vale notar que a dedução usou divisão por x e y em passos intermediários; no final a família y=C_1 x é válida globalmente como solução geral, com a interpretação usual em cada intervalo onde a solução é definida.

Passo 7

Método alternativo (curtinho e elegante): observar que a diferencial do quociente \dfrac{y}{x} é
d\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}}.
Como a equação original diz que x\,dy - y\,dx = 0, segue que d\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=0. Isso implica que \dfrac{y}{x} é constante, ou seja \dfrac{y}{x}=C_1, o que leva diretamente a y=C_1 x. Esse argumento evita integrais explícitas e é uma boa dica rápida na prova.

Resposta

y = Cx,\quad C\in\mathbb{R}

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