[1] Três cargas pontuais q1=+q, q2=+q e q3=-q são colocadas no plano x y formando um triangulo equilátero de lado L de modo que o eixo z passa pelo centro geométrico do triângulo. Uma carga de teste q0 é colocada na origem.
a) Calcule o campo elétrico exercida pelas três cargas na origem.
b) Calcule a força exercida pelas três cargas na carga de teste.
c) Calcule o potencial elétrico no ponto onde foi colocada a carga de teste.
d) Calcule a energia potencial que foi armazenada para se criar esta configuração de cargas.

Passo 1

O enunciado dá três cargas pontuais q1=+q, q2=+q e q3=-q localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L no plano xy. O centro geométrico do triângulo coincide com a origem, onde também está uma carga de teste q0. O que precisamos usar é:
  1. Superposição do campo elétrico de cada carga pontual.
  2. Relação força F=q0,E.
  3. Potencial elétrico de cargas pontuais, V=ksumi qi/ri.
  4. Energia interna (potencial) de montagem de cargas pontuais, U = sumi<j k,qi qj/rij.

Passo 2

Vamos colocar as cargas de modo simétrico. A distância do centro a cada vértice é
R = Lraiz3
Escolhendo coordenadas:
r1 = (R,0), r2 = l(-tfracR2,tfracraiz3,R2r), r3 = l(-tfracR2,-tfracraiz3,R2r),
com q1=+q,;q2=+q,;q3=-q. O campo de cada carga em O é
Ei = k,qiR^2,-riR = k,qiR^3(-ri)
Somando:
E = sumi=1^3 Ei = k,1R^3l[q1(-r1)+q2(-r2)+q3(-r3)r]
Calcula-se o vetor-peso q1r1+q2r2+q3r3 = -2q,r3. Logo
E = k,-(-2q,r3)R^3 = 2k,qR^3,r3 = 2kqR^3l(-tfracR2,-tfracraiz3,R2r) = l(-tfrac2kqR^2cdottfrac12,;-tfrac2kqR^2cdottfracraiz32r)
E = l(-kqR^2,;-raiz3,kqR^2r)
Substituindo R^2=L^2/3, tfrackqR^2=3kq/L^2, então
boxedE(0)=l(-3kqL^2,;-3raiz3,kqL^2r)

Passo 3

A força sobre a carga de teste q0 é
boxedF=q0,E =l(-3kq,q0L^2,;-3raiz3,kq,q0L^2r)

Passo 4

O potencial elétrico no ponto O é soma escalar de cada carga dividida pela distância:
V(0) = kl(q1R+q2R+q3Rr) = kR(q+q -q) = kqR = raiz3,kqL
boxedV(0)=raiz3,kqL

Passo 5

A energia potencial para montar apenas as três cargas q1,q2,q3 em lados de comprimento L é
U = kq1q2L + kq1q3L + kq2q3L = kq^2L + k(-q^2)L + k(-q^2)L = -,kq^2L
boxedU=-kq^2L

Resposta

a) E(0)=l(-tfrac3kqL^2,-tfrac3raiz3,kqL^2r).
b) F=q0,E=l(-tfrac3kq,q0L^2,-tfrac3raiz3,kq,q0L^2r).
c) V(0)=tfracraiz3,kqL.
d) U=-tfrackq^2L

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