[3] Supondo que um elétron está “espalhado” sobre todo o espaço no átomo de hidrogênio com uma densidade rho(r)=C e^-2 r / a0, onde a0=0,53 times 10^-10 m
a) Determine a constante C, para que a carga total seja igual QT=-e, a carga elementar.
DICA: d V=4 pi r^2 d r.
b) Determine a carga total no interior de uma esfera de raio a0, que corresponde ao raio da órbita do elétron.
c) Obtenha uma expressão literal para o campo elétrico total(elétron + núcleo) como função de r.

Passo 1

Temos uma densidade de carga esférica
rho(r)=C,e^-2r/a0,
com a0=0,53times10^-10,m.
(a) Precisamos achar C para que a carga total seja -e.
(b) Calcular a carga dentro de uma esfera de raio a0.
(c) Determinar o campo elétrico resultante (elétron espalhado + núcleo pontual) em função de r.
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, para o campo, a Lei de Gauss.

Passo 2

Normalizando a carga total:
QT=integralR^3rho(r),dV =4pi Cintegral0^infty r^2 e^-2r/a0drstackrel!=-e
Como
integral0^infty r^2e^-alpha rdr=2alpha^3,
com alpha=2/a0, temos
4pi C2(2/a0)^3=-e ;Rightarrow; pi C a0^3=-e ;Rightarrow; C=-epi a0^3

Passo 3

A carga dentro de r=a0 é
Q(r<a0)=4pi Cintegral0^a0r^2e^-2r/a0dr
Usando a primitiva
integral0^R r^2e^-alpha rdr =2alpha^3l[1-e^-alpha R(1+alpha R+tfrac(alpha R)^22)r],
com alpha=2/a0 e R=a0,
integral0^a0r^2e^-2r/a0dr =a0^34(1-5e^-2)
Logo
Q(r<a0) =4pi Ca0^34(1-5e^-2) =pi C a0^3(1-5e^-2) =-e,(1-5e^-2)

Passo 4

Para o campo, primeiro achamos a carga efetiva do elétron dentro de r:
Qrm enc(r) =4pi Cintegral0^r r'^2e^-2r'/a0dr' =-el[1-e^-2r/a0l(2tfracr^2a0^2+2tfracra0+1r)r]
O núcleo pontual de carga +e soma
Qrm líquida(r) =+e+Qrm enc(r) =e,e^-2r/a0l(2tfracr^2a0^2+2tfracra0+1r) í
Pela Lei de Gauss,
E(r) =14pivarepsilon0Qrm líquida(r)r^2 =e4pivarepsilon0, e^-2r/a0l(2r^2/a0^2+2r/a0+1r)r^2, í
no sentido radial para fora.

Resposta

a) C=-dfracepi a0^3
b) Q(r<a0)=-e,(1-5e^-2)
c) E(r) =e4pivarepsilon0, e^-2r/a0l(2r^2/a0^2+2r/a0+1r)r^2

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