[3] Supondo que um elétron está “espalhado” sobre todo o espaço no átomo de hidrogênio com uma densidade
, onde
a) Determine a constante
, para que a carga total seja igual
, a carga elementar.
DICA:
.
b) Determine a carga total no interior de uma esfera de raio
, que corresponde ao raio da órbita do elétron.
c) Obtenha uma expressão literal para o campo elétrico total(elétron + núcleo) como função de
.
a) Determine a constante
DICA:
b) Determine a carga total no interior de uma esfera de raio
c) Obtenha uma expressão literal para o campo elétrico total(elétron + núcleo) como função de
Passo 1
Temos uma densidade de carga esférica
com
.
(a) Precisamos achar para que a carga total seja
.
(b) Calcular a carga dentro de uma esfera de raio .
(c) Determinar o campo elétrico resultante (elétron espalhado núcleo pontual) em função de
.
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, para o campo, a Lei de Gauss.
(a) Precisamos achar
(b) Calcular a carga dentro de uma esfera de raio
(c) Determinar o campo elétrico resultante (elétron espalhado
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, para o campo, a Lei de Gauss.
Passo 2
Normalizando a carga total:
Como
com
, temos
Passo 3
A carga dentro de
é
Usando a primitiva
com
e
,
Logo
Passo 4
Para o campo, primeiro achamos a carga efetiva do elétron dentro de
:
O núcleo pontual de carga
soma
Pela Lei de Gauss,
no sentido radial para fora.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)