10/06
Dados os vetores
e
, achar o valor de
em cada um dos seguintes casos:
(b) O vetor
é perpendicular a
.
Dados os vetores
(b) O vetor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
- $ u = (2, -1, 1) $
- $ v = (1, 2, -3) $
- $ w = (-3, a, 5) $
O objetivo é encontrar o valor de $ a $ tal que o vetor $ w $ seja perpendicular à soma dos vetores $ u $ e $ v $. Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional e perpendicularidade entre vetores.
Passo 2
Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar (também conhecido como produto interno) entre eles deve ser igual a zero. Ou seja, se $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ são vetores, então $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ implica que $ \mathbf{a} $ é perpendicular a $ \mathbf{b} $.
Passo 3
Primeiramente, vamos calcular a soma dos vetores $ u $ e $ v $:
Então, $ u + v = (3, 1, -2) $.
Passo 4
Agora, queremos que o vetor $ w = (-3, a, 5) $ seja perpendicular a $ u + v = (3, 1, -2) $. Para isso, calculamos o produto escalar entre $ w $ e $ u + v $ e igualamos a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Resposta
O valor de $ a $ que torna o vetor $ w $ perpendicular a $ u + v $ é $ a = 19 $.