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Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,2,-3) e w=(-3, a, 5), achar o valor de a in R em cada um dos seguintes casos:
(b) O vetor w é perpendicular a u+v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
  • $ u = (2, -1, 1) $
  • $ v = (1, 2, -3) $
  • $ w = (-3, a, 5) $
O objetivo é encontrar o valor de $ a $ tal que o vetor $ w $ seja perpendicular à soma dos vetores $ u $ e $ v $. Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional e perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar (também conhecido como produto interno) entre eles deve ser igual a zero. Ou seja, se $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ são vetores, então $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ implica que $ \mathbf{a} $ é perpendicular a $ \mathbf{b} $.

Passo 3

Primeiramente, vamos calcular a soma dos vetores $ u $ e $ v $:
u
Então, $ u + v = (3, 1, -2) $.

Passo 4

Agora, queremos que o vetor $ w = (-3, a, 5) $ seja perpendicular a $ u + v = (3, 1, -2) $. Para isso, calculamos o produto escalar entre $ w $ e $ u + v $ e igualamos a zero:
w = (-3, a, 5)

Passo 5

Vamos resolver a equação:
-9 + a - 10 = 0
a - 19 = 0
a = 19

Resposta

O valor de $ a $ que torna o vetor $ w $ perpendicular a $ u + v $ é $ a = 19 $.

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