22/05
Seja C o círculo de centro no ponto de interseção das retas r1: x+2 y=1 e r2: x+y=4 e que é tangente à reta r: x+2 y=2. Determine a equação de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação de um círculo, chamado C. Sabemos que o centro desse círculo é onde duas retas, r1: x+2y=1 e r2: x+y=4, se cruzam. Além disso, esse círculo é tangente a outra reta, r: x+2y=2. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, como a interseção de retas e a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas r1 e r2. Isso vai ser o centro do nosso círculo. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
x + 2y = 1 x + y = 4
Podemos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + 2y) - (x + y) = 1 - 4 y = -3
Agora que temos y = -3, substituímos na segunda equação para encontrar x:
x + (-3) = 4 x = 7
Então, o centro do círculo é o ponto (7, -3).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o raio do círculo. Como o círculo é tangente à reta r: x + 2y = 2, a distância entre o centro (7, -3) e essa reta será igual ao raio.
A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) a uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Vamos reescrever a equação da reta r na forma padrão:
x + 2y - 2 = 0
Aqui, A = 1, B = 2, e C = -2. Substituindo na fórmula:
d = |1 cdot 7 + 2 cdot (-3) - 2|raiz1^2 + 2^2 = |7 - 6 - 2|raiz1 + 4 = | -1 |raiz5 = 1raiz5
Então, o raio r do círculo é 1raiz5.

Passo 4

Por último, vamos escrever a equação do círculo. A equação geral de um círculo com centro em (h, k) e raio r é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Substituindo h = 7, k = -3, e r = 1raiz5:
(x - 7)^2 + (y + 3)^2 = (1raiz5)^2 = 15

Resposta

A equação do círculo C é:
(x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 15

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