22/05
Seja
o círculo de centro no ponto de interseção das retas
e que é tangente à reta
. Determine a equação de
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação de um círculo, chamado
. Sabemos que o centro desse círculo é onde duas retas,
e
, se cruzam. Além disso, esse círculo é tangente a outra reta,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, como a interseção de retas e a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas
e
. Isso vai ser o centro do nosso círculo. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora que temos
, substituímos na segunda equação para encontrar
:
Então, o centro do círculo é o ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o raio do círculo. Como o círculo é tangente à reta
, a distância entre o centro
e essa reta será igual ao raio.
A fórmula para a distância de um ponto
a uma reta
é:
Vamos reescrever a equação da reta
na forma padrão:
Aqui,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Então, o raio
do círculo é
.
Passo 4
Por último, vamos escrever a equação do círculo. A equação geral de um círculo com centro em
e raio
é:
Substituindo
,
, e
:
Resposta
A equação do círculo
é: