27/05
Seja
o círculo definido pela equação
. Achar equações paramétricas para as retas
e
que são, ao mesmo tempo, tangentes a
e paralelas a
:
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas de duas retas, $ r_1 $ e $ r_2 $, que são tangentes a um círculo
dado pela equação $ x^{2} + y^{2} + 2x - 4y = 0 $ e que também são paralelas a outra reta $ r $ definida por $ -2x + y = 5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre círculos, retas paralelas e a condição de tangência entre uma reta e um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio do círculo
. A equação geral do círculo é $ x^{2} + y^{2} + 2x - 4y = 0 $. Para achar o centro
e o raio $ r $, vamos completar o quadrado em $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação do círculo:
Completemos o quadrado para o $ x $:
E para o $ y $:
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro do círculo
é $ (-1, 2) $ e o raio $ r = \sqrt{5} $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a reta $ r $: $ -2x + y = 5 $. Queremos retas que sejam paralelas a ela. Sabemos que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Vamos reescrever a equação de $ r $ na forma $ y = mx + b $ para identificar o coeficiente angular $ m $.
Então, o coeficiente angular $ m = 2 $. As retas $ r_1 $ e $ r_2 $ que buscamos também terão $ m = 2 $, ou seja, terão a forma $ y = 2x + b $, onde $ b $ é o intercepto que precisamos determinar.
Passo 5
Para que $ r_1 $ e $ r_2 $ sejam tangentes ao círculo
, a distância entre o centro do círculo $ (-1, 2) $ e cada uma dessas retas deve ser igual ao raio $ \sqrt{5} $.
A fórmula da distância entre um ponto $ (x_0, y_0) $ e uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
Vamos aplicar isso nas retas $ y = 2x + b $, que podem ser reescritas como $ -2x + y - b = 0 $.
Então, $ A = -2 $, $ B = 1 $, $ C = -b $, e o ponto $ (x_0, y_0) = (-1, 2) $.
A distância deve ser igual a $ \sqrt{5} $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{5} $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ 4 - b = 5 \Rightarrow b = -1 $
- $ 4 - b = -5 \Rightarrow b = 9 $
Passo 6
Com os valores de $ b $ encontrados, temos as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $:
Resposta
As equações paramétricas das retas tangentes são: