27/05
Seja C o círculo definido pela equação x^2+y^2+2 x-4 y=0. Achar equações paramétricas para as retas r1 e r2 que são, ao mesmo tempo, tangentes a C e paralelas a r : -2 x+y=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas de duas retas, $ r_1 $ e $ r_2 $, que são tangentes a um círculo r1 dado pela equação $ x^{2} + y^{2} + 2x - 4y = 0 $ e que também são paralelas a outra reta $ r $ definida por $ -2x + y = 5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre círculos, retas paralelas e a condição de tangência entre uma reta e um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio do círculo C. A equação geral do círculo é $ x^{2} + y^{2} + 2x - 4y = 0 $. Para achar o centro x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0 e o raio $ r $, vamos completar o quadrado em $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação do círculo:
x^2 + 2x + y^2 - 4y = 0
Completemos o quadrado para o $ x $:
x
E para o $ y $:
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
y
Então, o centro do círculo y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 é $ (-1, 2) $ e o raio $ r = \sqrt{5} $.

Passo 4

Agora, vamos analisar a reta $ r $: $ -2x + y = 5 $. Queremos retas que sejam paralelas a ela. Sabemos que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Vamos reescrever a equação de $ r $ na forma $ y = mx + b $ para identificar o coeficiente angular $ m $.
r
Então, o coeficiente angular $ m = 2 $. As retas $ r_1 $ e $ r_2 $ que buscamos também terão $ m = 2 $, ou seja, terão a forma $ y = 2x + b $, onde $ b $ é o intercepto que precisamos determinar.

Passo 5

Para que $ r_1 $ e $ r_2 $ sejam tangentes ao círculo r1 , a distância entre o centro do círculo $ (-1, 2) $ e cada uma dessas retas deve ser igual ao raio $ \sqrt{5} $.
A fórmula da distância entre um ponto $ (x_0, y_0) $ e uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
r2
Vamos aplicar isso nas retas $ y = 2x + b $, que podem ser reescritas como $ -2x + y - b = 0 $.
Então, $ A = -2 $, $ B = 1 $, $ C = -b $, e o ponto $ (x_0, y_0) = (-1, 2) $.
A distância deve ser igual a $ \sqrt{5} $:
C
Simplificando:
(-1, 2)
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{5} $:
raiz5
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ 4 - b = 5 \Rightarrow b = -1 $
  2. $ 4 - b = -5 \Rightarrow b = 9 $

Passo 6

Com os valores de $ b $ encontrados, temos as equações das retas $ r_1 $ e $ r_2 $:
b

Resposta

As equações paramétricas das retas tangentes são:
r1: x = t y = 2t - 1 e r2: x = t y = 2t + 9

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