10.12 Uma soluçilo aquosa de sacarose de 2,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{kg} tem uma pressio de vapor de 22,75 torr a 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine a atividade e o coeficiente de atividade do solvente água nessa solução.

Passo 1

O enunciado dá uma solução aquosa de sacarose com molalidade \,m=2{,}00\\ \mathrm{mol/kg}\, e informa que a pressão de vapor dessa solução a 25^\circ\mathrm{C} é \,p_{\text{sol}}=22{,}75\\ \text{torr}\,. Pede-se: (1) a atividade do solvente (água) nessa solução e (2) o coeficiente de atividade do solvente.
Vou usar como pressão de vapor do solvente puro (água) a 25^\circ\mathrm{C} o valor padrão de tabela \,p_{0}=23{,}76\\ \text{torr}\, (este é um valor tabelado para água a 25^\circ\mathrm{C}). Todos os demais dados necessários podem ser obtidos a partir de m e da massa de solvente igual a 1{,}000\\ \mathrm{g} (procedimento padrão ao trabalhar com molalidade).

Passo 2

Definição e fórmula para atividade do solvente: a atividade do solvente a_1 pode ser definida experimentalmente pela razão entre a pressão de vapor do solvente na solução e a pressão de vapor do solvente puro à mesma temperatura. Ou seja,
a_1=\frac{p_{\text{sol}}}{p_{0}}.
Explicação didática: isso vem da ideia de que, para um solvente ideal obedecendo à lei de Raoult, a fração molar do solvente x_1 é igual à sua atividade. Na prática, medimos a pressão de vapor e definimos a_1 por essa razão — é uma forma direta e experimental de obter a atividade.

Passo 3

Cálculo numérico da atividade: substituir os números na fórmula de a_1.
a_1=\frac{22{,}75}{23{,}76}.
Agora fazemos a divisão (mostro o cálculo para você poder fazer na prova): primeiro calcule a diferença relativa
1-\frac{22{,}75}{23{,}76}=\frac{23{,}76-22{,}75}{23{,}76}=\frac{1{,}01}{23{,}76}\approx0{,}0425,
então
\frac{22{,}75}{23{,}76}\approx1-0{,}0425=0{,}9575.
Portanto, numericamente,
a_1\approx0{,}9575.

Passo 4

Agora vamos ao coeficiente de atividade \gamma_1. Ele é definido pela relação entre a atividade e a fração molar do solvente:
\gamma_1=\frac{a_1}{x_1}.
Para obter \gamma_1 precisamos calcular a fração molar do solvente x_1 na solução dada pela molalidade.

Passo 5

Cálculo da fração molar do solvente x_1 a partir da molalidade: por definição de molalidade, m é o número de mols de soluto por quilograma de solvente. Tomamos convenientemente 1{,}000\\ \mathrm{g} (ou 1{,}000\\ \mathrm{g}=1{,}000\\ \mathrm{g}) de água como base de cálculo. Assim:
  • mols de sacarose (soluto) em 1{,}000\\ \mathrm{g} de água: \,n_{\text{soluto}}=m\cdot(1{,}0\\ \mathrm{kg})=2{,}00\\ \mathrm{mol}.
  • mols de água (solvente) em 1{,}000\\ \mathrm{g}: usamos a massa molar da água. Tomo M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g/mol} (valor comum em tabelas). Então
n_{\text{água}}=\frac{1{,}000\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g/mol}}\approx55{,}508\\ \mathrm{mol}.á
Total de mols na amostra considerada:
n_{\text{total}}=n_{\text{água}}+n_{\text{soluto}}=55{,}508+2{,}00=57{,}508\\ \mathrm{mol}.á
Logo a fração molar do solvente é
x_1=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{total}}}=\frac{55{,}508}{57{,}508}.á
Façamos a divisão (mostro para você):
x_1\approx0{,}9652.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de atividade \gamma_1: agora usamos
\gamma_1=\frac{a_1}{x_1}=\frac{0{,}9575}{0{,}9652}.
Fazendo a divisão:
\gamma_1\approx0{,}9920.
Interpretação didática curta: \gamma_1 próximo, mas ligeiramente menor que 1 indica que a atividade do solvente é um pouco menor do que se esperaria se a solução fosse ideal (para uma solução ideal teríamos a_1=x_1 e \gamma_1=1). Não se assuste com números próximos de 1 — isso é comum em soluções diluídas de não-eletrólitos.

Resposta

a_{\text{água}}=0{,}9575á
\gamma_{\text{água}}=0{,}9920á

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