Considerando a interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros, determine, para cada uma das seguintes transformadas z, se o sinal correspondente tem uma característica aproximadamente de passa-baixas, pas-sa-faixa ou passa-altas:
X(z)=\frac{z^{-1}}{1+\frac{8}{9} z^{-1}},|z|>\frac{8}{9}

Passo 1

O enunciado dá a transformada
X(z)=\frac{z^{-1}}{1+\frac{8}{9}z^{-1}},\qquad \text{ROC: }|z|>\frac{8}{9},
e pede para identificar, a partir da interpretação geométrica em termos de polos e zeros, se o sinal correspondente é aproximadamente passa-baixas, passa-faixa ou passa-altas. Informações relevantes fornecidas:
  • a expressão de X(z) em função de z^{-1};
  • a Região de Convergência (ROC) |z|>\tfrac{8}{9}.

Passo 2

Colocar X(z) numa forma conveniente em z. Multiplicando numerador e denominador por z obtemos
X(z)=\frac{1}{z+\tfrac{8}{9}}.
Dessa forma vemos claramente os polos/zeros:
  • polo em z=-\tfrac{8}{9} (único polo finito);
  • não há zeros finitos (há, na linguagem de polos/zeros, um zero em z=\infty porque o grau do numerador é menor que o do denominador).

Passo 3

Regras geométricas (mini-aula): para avaliar a magnitude da resposta em frequência usa-se z=e^{j\omega} (ponto na circunferência unitaria). Para funções racionais com polos \{p_k\} e zeros \{z_\ell\} e ganho K,
\big|X(e^{j\omega})\big| \propto \frac{\prod_\ell |e^{j\omega}-z_\ell|}{\prod_k |e^{j\omega}-p_k|}.
Ou seja, a magnitude é (proporcionalmente) o produto das distâncias do ponto e^{j\omega} aos zeros dividido pelo produto das distâncias aos polos. Intuição prática: um polo próximo à circunferência unitária em determinada direção (ângulo) aumenta muito a magnitude para frequências com esse ângulo; um zero próximo causa atenuação nessa direção.
Aplicando ao caso presente (um polo em p=-\tfrac{8}{9} e nenhum zero finito) temos, ao avaliar na unidade,
\big|X(e^{j\omega})\big|=\frac{1}{\big|e^{j\omega}+\tfrac{8}{9}\big|}.
Portanto a magnitude é inversamente proporcional à distância entre o ponto e^{j\omega} na circunferência unitária e o polo p=-\tfrac{8}{9} sobre o eixo real negativo.

Passo 4

Calcular valores representativos para entender onde a resposta é maior:
  • para \omega=0 temos e^{j0}=1, então
\big|X(e^{j0})\big|=\frac{1}{\big|1+\tfrac{8}{9}\big|}=\frac{1}{\tfrac{17}{9}}=\frac{9}{17}\approx 0,529.
  • para \omega=\pi temos e^{j\pi}=-1, então
\big|X(e^{j\pi})\big|=\frac{1}{\big|-1+\tfrac{8}{9}\big|}=\frac{1}{\tfrac{1}{9}}=9.
Comparando, a magnitude em \omega=\pi é muito maior (aproximadamente 9/(9/17)=17 vezes maior) do que em \omega=0.

Passo 5

Verificação intermediária (exemplo): para \omega=\tfrac{\pi}{2} temos e^{j\pi/2}=j,
\big|X(e^{j\pi/2})\big|=\frac{1}{\sqrt{\big(\tfrac{8}{9}\big)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{\tfrac{64}{81}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\tfrac{145}{81}}}=\frac{9}{\sqrt{145}}\approx 0,747.
Isso confirma que a maior amplificação ocorre perto de \omega=\pi (frequência alta), enquanto frequências próximas a \omega=0 são atenuadas.

Passo 6

Interpretação final: o polo está localizado em |p|=\tfrac{8}{9}<1 sobre o eixo real negativo (ângulo \pi), portanto ele fica próximo da unidade na direção de altas frequências ( \omega=\pi). Pela regra geométrica, isso produz um pico de magnitude em \omega próximo de \pi e atenua as frequências próximas a 0. Logo o sistema/sinal enfatiza componentes de alta frequência — isto é característica de um filtro passa-altas. Observação: não é um passa-altas ideal (há resposta não nula em baixas frequências), por isso a classificação é “aproximadamente passa-altas”.

Resposta

Passa-altas

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