Considerando a interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros, determine, para cada uma das seguintes transformadas z, se o sinal correspondente tem uma característica aproximadamente de passa-baixas, pas-sa-faixa ou passa-altas: X(z)=\frac{z^{-1}}{1+\frac{8}{9} z^{-1}},|z|>\frac{8}{9}
e pede para identificar, a partir da interpretação geométrica em termos de polos e zeros, se o sinal correspondente é aproximadamente passa-baixas, passa-faixa ou passa-altas. Informações relevantes fornecidas:
a expressão de X(z) em função de z^{-1};
a Região de Convergência (ROC) |z|>\tfrac{8}{9}.
Passo 2
Colocar X(z) numa forma conveniente em z. Multiplicando numerador e denominador por z obtemos
X(z)=\frac{1}{z+\tfrac{8}{9}}.
Dessa forma vemos claramente os polos/zeros:
polo em z=-\tfrac{8}{9} (único polo finito);
não há zeros finitos (há, na linguagem de polos/zeros, um zero em z=\infty porque o grau do numerador é menor que o do denominador).
Passo 3
Regras geométricas (mini-aula): para avaliar a magnitude da resposta em frequência usa-se z=e^{j\omega} (ponto na circunferência unitaria). Para funções racionais com polos \{p_k\} e zeros \{z_\ell\} e ganho K,
Ou seja, a magnitude é (proporcionalmente) o produto das distâncias do ponto e^{j\omega} aos zeros dividido pelo produto das distâncias aos polos. Intuição prática: um polo próximo à circunferência unitária em determinada direção (ângulo) aumenta muito a magnitude para frequências com esse ângulo; um zero próximo causa atenuação nessa direção.
Aplicando ao caso presente (um polo em p=-\tfrac{8}{9} e nenhum zero finito) temos, ao avaliar na unidade,
Portanto a magnitude é inversamente proporcional à distância entre o ponto e^{j\omega} na circunferência unitária e o polo p=-\tfrac{8}{9} sobre o eixo real negativo.
Passo 4
Calcular valores representativos para entender onde a resposta é maior:
Isso confirma que a maior amplificação ocorre perto de \omega=\pi (frequência alta), enquanto frequências próximas a \omega=0 são atenuadas.
Passo 6
Interpretação final: o polo está localizado em |p|=\tfrac{8}{9}<1 sobre o eixo real negativo (ângulo \pi), portanto ele fica próximo da unidade na direção de altas frequências (\omega=\pi). Pela regra geométrica, isso produz um pico de magnitude em \omega próximo de \pi e atenua as frequências próximas a 0. Logo o sistema/sinal enfatiza componentes de alta frequência — isto é característica de um filtro passa-altas. Observação: não é um passa-altas ideal (há resposta não nula em baixas frequências), por isso a classificação é “aproximadamente passa-altas”.