Considerando a interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros, determine, para cada uma das seguintes transformadas
, se o sinal correspondente tem uma característica aproximadamente de passa-baixas, pas-sa-faixa ou passa-altas:
Passo 1
O enunciado fornece a transformada
A pergunta é: a partir da interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier (avaliando em
), o sinal correspondente tem característica aproximadamente de passa-baixas, passa-faixa ou passa-altas?
Informações relevantes dadas:
- A função
escrita acima e a ROC . - Para decidir a característica (passa-baixas / passa-faixa / passa-altas) devemos olhar onde as magnitudes são grandes ou pequenas ao avaliar
na circunferência unitária, o que é controlado geometricamente pela posição de polos e zeros.
Passo 2
Colocar
em forma polinomial para identificar polos e zeros. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Agora identificamos:
- Zeros: do numerador
=> zeros em (multiplicidade 2). - Polos: raízes do denominador
. Resolver:
Portanto os polos estão em
e
; ambos têm módulo
(menor que 1). A ROC
indica que a sequência é da forma causal (direita) e que os polos estão dentro da ROC.
Passo 3
Explicar geometricamente como polos/zeros influenciam a magnitude em
:
- A resposta em frequência do sinal é dada por
. Geometricamente, a magnitude é grande quando está próximo de polos (porque a distância até um polo pequena aumenta a magnitude) e é pequena quando está próximo de zeros. - Aqui os polos estão em ângulos
(porque são puramente imaginários) e com raio , ou seja, muito próximos da circunferência unitária na direção . Logo esperamos um reforço (pico) da magnitude em frequências próximas a . - Os zeros em
(origem) estão longe da unidade e, ao avaliar na circunferência unitária, não produzem cancelamento em da mesma forma que zeros sobre a circunferência fariam; portanto o efeito dominante na forma da resposta em frequência vem dos polos próximos a .
Passo 4
Calcular valores representativos de
para ilustrar a forma (apenas aritmética simples):
- Em
: , então
- Em
: , então
ou seja, um ganho bem maior em
.
- Em
: (mesmo valor que em ), logo .
Esses números confirmam: atenuação em baixas e altas frequências próximas de
e
, e um pico em torno de
. Geometricamente isso vem dos polos próximos da unidade em
.
Passo 5
Interpretação final e conclusão didática (estilo amigo e encorajador):
- Resumindo: polos próximos à circunferência unitária em ângulo
geram fortalecimento das componentes de frequência nessa região; valores de menores em e mostram que essas frequências são atenuadas. - Portanto, a característica aproximada do sinal/filtragem é de passa-faixa centrado em
. (A ROC confirma que os polos estão dentro da unidade e que a sequência é causal e estável.)
Resposta
passa-faixa (com pico em
)