Considerando a interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros, determine, para cada uma das seguintes transformadas z, se o sinal correspondente tem uma característica aproximadamente de passa-baixas, pas-sa-faixa ou passa-altas:
X(z)=\frac{1}{1+\frac{64}{81} z^{-2}},|z|>\frac{8}{9}

Passo 1

O enunciado fornece a transformada
X(z)=\frac{1}{1+\frac{64}{81}z^{-2}},\qquad \text{ROC: }|z|>\frac{8}{9}.
A pergunta é: a partir da interpretação geométrica da magnitude da transformada de Fourier (avaliando em z=e^{j\omega}), o sinal correspondente tem característica aproximadamente de passa-baixas, passa-faixa ou passa-altas?
Informações relevantes dadas:
  • A função X(z) escrita acima e a ROC |z|>\tfrac{8}{9}.
  • Para decidir a característica (passa-baixas / passa-faixa / passa-altas) devemos olhar onde as magnitudes são grandes ou pequenas ao avaliar X(e^{j\omega}) na circunferência unitária, o que é controlado geometricamente pela posição de polos e zeros.

Passo 2

Colocar X(z) em forma polinomial para identificar polos e zeros. Multiplicando numerador e denominador por z^{2} obtemos
X(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}+\tfrac{64}{81}}.
Agora identificamos:
  • Zeros: do numerador z^{2} => zeros em z=0 (multiplicidade 2).
  • Polos: raízes do denominador z^{2}+\tfrac{64}{81}=0. Resolver:
z^{2}=-\frac{64}{81}\quad\Rightarrow\quad z=\pm j\frac{8}{9}.
Portanto os polos estão em z= j\frac{8}{9} e z=-j\frac{8}{9}; ambos têm módulo \tfrac{8}{9} (menor que 1). A ROC |z|>\tfrac{8}{9} indica que a sequência é da forma causal (direita) e que os polos estão dentro da ROC.

Passo 3

Explicar geometricamente como polos/zeros influenciam a magnitude em z=e^{j\omega}:
  • A resposta em frequência do sinal é dada por X(e^{j\omega}). Geometricamente, a magnitude |X(e^{j\omega})| é grande quando e^{j\omega} está próximo de polos (porque a distância até um polo pequena aumenta a magnitude) e é pequena quando e^{j\omega} está próximo de zeros.
  • Aqui os polos estão em ângulos \pm\frac{\pi}{2} (porque são puramente imaginários) e com raio \tfrac{8}{9}, ou seja, muito próximos da circunferência unitária na direção \omega=\pm\tfrac{\pi}{2}. Logo esperamos um reforço (pico) da magnitude em frequências próximas a \omega=\tfrac{\pi}{2}.
  • Os zeros em z=0 (origem) estão longe da unidade e, ao avaliar na circunferência unitária, não produzem cancelamento em \omega=0 da mesma forma que zeros sobre a circunferência fariam; portanto o efeito dominante na forma da resposta em frequência vem dos polos próximos a \omega=\pm\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular valores representativos de |X(e^{j\omega})| para ilustrar a forma (apenas aritmética simples):
X(e^{j\omega})=\frac{1}{1+\tfrac{64}{81}e^{-j2\omega}}.
  • Em \omega=0: e^{-j2\cdot 0}=1, então
|X(e^{j0})|=\frac{1}{1+\tfrac{64}{81}}=\frac{1}{\tfrac{145}{81}}=\frac{81}{145}\approx 0{,}56.
  • Em \omega=\tfrac{\pi}{2}: e^{-j2\cdot(\pi/2)}=e^{-j\pi}=-1, então
|X\!\bigl(e^{j\pi/2}\bigr)|=\frac{1}{1-\tfrac{64}{81}}=\frac{1}{\tfrac{17}{81}}=\frac{81}{17}\approx 4{,}76,
ou seja, um ganho bem maior em \omega=\tfrac{\pi}{2}.
  • Em \omega=\pi: e^{-j2\pi}=1 (mesmo valor que em \omega=0), logo |X(e^{j\pi})|\approx 0{,}56.
Esses números confirmam: atenuação em baixas e altas frequências próximas de 0 e \pi, e um pico em torno de \omega=\tfrac{\pi}{2}. Geometricamente isso vem dos polos próximos da unidade em \pm\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Interpretação final e conclusão didática (estilo amigo e encorajador):
  • Resumindo: polos próximos à circunferência unitária em ângulo \pm\tfrac{\pi}{2} geram fortalecimento das componentes de frequência nessa região; valores de |X(e^{j\omega})| menores em \omega=0 e \omega=\pi mostram que essas frequências são atenuadas.
  • Portanto, a característica aproximada do sinal/filtragem é de passa-faixa centrado em \omega=\tfrac{\pi}{2}. (A ROC |z|>\tfrac{8}{9} confirma que os polos estão dentro da unidade e que a sequência é causal e estável.)

Resposta

passa-faixa (com pico em \omega=\tfrac{\pi}{2})

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