10.91 Um avião a jato viajando a
aspira
de ar e descarrega-o a uma velocidade de
relativa ao avião. Determine a eficiência de propulsão (definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida para o fluido) do avião.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a eficiência de propulsão, definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida ao fluido.
Dados fornecidos:
Aqui
é a velocidade do avião em relação ao ar (para frente),
é a vazão mássica do ar que passa pelo motor e
é a velocidade do jato ejetado relativa ao avião (para trás).
O que se pede: calcular a eficiência de propulsão
O que se pede: calcular a eficiência de propulsão
Passo 2
Vamos definir convenções e interpretar as velocidades com cuidado (isso evita confusão no meio da conta).
- Escolho sentido para frente como positivo.
- A velocidade do ar distante (referencial do solo) é
(ar praticamente em repouso no solo). - A velocidade do avião é
(para frente). - A velocidade de saída do jato, relativa ao avião, é para trás com magnitude
. Portanto a velocidade do jato relativa ao solo é
ou seja o jato sai para trás a
no referencial do solo (o sinal negativo indica direção contrária ao avanço do avião).
Passo 3
Calcular a força de reação (empuxo, thrust) usando conservação de quantidade de movimento (momento). Para fluxo estacionário, a taxa de variação do momento do ar por unidade de tempo é
Essa é a força aplicada no ar; pelo princípio de ação e reação, o empuxo
no avião é
Substituindo
e
:
Agora os números:
Passo 4
A potência útil (taxa de trabalho que o empuxo realiza sobre a aeronave) é
Substituindo:
Passo 5
Agora determinamos a energia mecânica cedida ao fluido por unidade de tempo (potência fornecida ao ar). Essa quantidade é a variação da energia cinética do fluxo devido à ação do motor. Importante: a energia é cedida ao fluido pelo motor no referencial do avião (o motor está ligado ao avião), logo usamos as velocidades no referencial do avião. No referencial do avião o ar entra com velocidade
e sai com velocidade
, assim a taxa de aumento da energia cinética do ar é
(Explicando: energia cinética por unidade de tempo é
; em módulo são
e
.)
Agora os cálculos numéricos:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Agora a eficiência de propulsão é
Podemos simplificar simbolicamente antes de inserir números: usando
,
Cancelando
(assumindo
) obtemos a fórmula clássica
Agora substituindo
e
:
Em percentual: