10.91 Um avião a jato viajando a 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s} aspira 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de ar e descarrega-o a uma velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} relativa ao avião. Determine a eficiência de propulsão (definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida para o fluido) do avião.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a eficiência de propulsão, definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida ao fluido.
Dados fornecidos:
V = 200\\ \mathrm{m/s}
\dot{m} = 40\\ \mathrm{kg/s}
c = 500\\ \mathrm{m/s}
Aqui \;V\; é a velocidade do avião em relação ao ar (para frente), \;\dot{m}\; é a vazão mássica do ar que passa pelo motor e \;c\; é a velocidade do jato ejetado relativa ao avião (para trás).
O que se pede: calcular a eficiência de propulsão
\eta = \frac{\text{potência útil}}{\text{potência cedida ao fluido}}.êúê

Passo 2

Vamos definir convenções e interpretar as velocidades com cuidado (isso evita confusão no meio da conta).
  • Escolho sentido para frente como positivo.
  • A velocidade do ar distante (referencial do solo) é u_1=0 (ar praticamente em repouso no solo).
  • A velocidade do avião é V=200\\ \mathrm{m/s} (para frente).
  • A velocidade de saída do jato, relativa ao avião, é para trás com magnitude c=500\\ \mathrm{m/s}. Portanto a velocidade do jato relativa ao solo é
u_2 = V - c = 200 - 500 = -300\\ \mathrm{m/s},
ou seja o jato sai para trás a 300\\ \mathrm{m/s} no referencial do solo (o sinal negativo indica direção contrária ao avanço do avião).

Passo 3

Calcular a força de reação (empuxo, thrust) usando conservação de quantidade de movimento (momento). Para fluxo estacionário, a taxa de variação do momento do ar por unidade de tempo é
\dot{m}(u_2 - u_1).
Essa é a força aplicada no ar; pelo princípio de ação e reação, o empuxo T no avião é
T = \dot{m}(u_1 - u_2).
Substituindo u_1=0 e u_2=V-c:
T = \dot{m}\big(0 - (V-c)\big)=\dot{m}(c-V).
Agora os números:
T = 40\cdot(500-200)=40\cdot 300 = 12000\\ \mathrm{N}.

Passo 4

A potência útil (taxa de trabalho que o empuxo realiza sobre a aeronave) é
P_{\text{útil}} = T\cdot V.ú
Substituindo:
P_{\text{útil}} = 12000\cdot 200 = 2\,400\,000\\ \mathrm{W} = 2{,}4\\ \mathrm{MW}.ú

Passo 5

Agora determinamos a energia mecânica cedida ao fluido por unidade de tempo (potência fornecida ao ar). Essa quantidade é a variação da energia cinética do fluxo devido à ação do motor. Importante: a energia é cedida ao fluido pelo motor no referencial do avião (o motor está ligado ao avião), logo usamos as velocidades no referencial do avião. No referencial do avião o ar entra com velocidade -V e sai com velocidade -c, assim a taxa de aumento da energia cinética do ar é
P_{\text{fluido}} = \tfrac{1}{2}\dot{m}(c^2 - V^2).
(Explicando: energia cinética por unidade de tempo é \tfrac{1}{2}\dot{m}v_{\text{saida}}^2 - \tfrac{1}{2}\dot{m}v_{\text{entrada}}^2; em módulo são c e V.)
Agora os cálculos numéricos:
P_{\text{fluido}} = \tfrac{1}{2}\cdot 40\cdot(500^2 - 200^2).
Calcule passo a passo:
500^2 = 250000,\qquad 200^2 = 40000,
250000 - 40000 = 210000,
\tfrac{1}{2}\cdot 40 = 20,
P_{\text{fluido}} = 20\cdot 210000 = 4\,200\,000\\ \mathrm{W} = 4{,}2\\ \mathrm{MW}.

Passo 6

Agora a eficiência de propulsão é
\eta = \frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{fluido}}}.ú
Podemos simplificar simbolicamente antes de inserir números: usando T=\dot{m}(c-V),
P_{\text{útil}}=T V=\dot{m}(c-V)V,ú
P_{\text{fluido}}=\tfrac{1}{2}\dot{m}(c^2-V^2)=\tfrac{1}{2}\dot{m}(c-V)(c+V).
Cancelando \dot{m}(c-V) (assumindo c\neq V) obtemos a fórmula clássica
\eta = \frac{2V}{c+V}.
Agora substituindo V=200 e c=500:
\eta = \frac{2\cdot 200}{500+200}=\frac{400}{700}=\frac{4}{7}\approx 0{,}5714286.
Em percentual:
\eta \approx 57{,}14\%.

Resposta

\eta=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714=57{,}14\%

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