10.77 Água é bombeada de um lago (em z=0 ) para um grande reservatório localizado sobre uma encosta acima do lago. O tubo é de ferro galvanizado com 3 in de diâmetro. A seção de aspiração (entre o lago e a bomba) inclui uma entrada bem-arredondada, um cotovelo padrão de 90^{\circ} e 50 ft de tubo. A seção de recalque (entre a saída da bomba e a descarga para o tanque aberto) inclui 2 cotovelos padrões de 90^{\circ}, uma válvula de gaveta e 150 ft de tubo. O tubo de descarga (pela lateral inferior do tanque) está a uma altura z=70 \mathrm{ft}. Calcule a curva de vazão do sistema. Estime o ponto de operação do sistema. Determine a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é 80 \%. Esboce a curva do sistema, quando o nível de água no tanque superior atinge z=90 \mathrm{ft}. Se o nível de água no tanque superior está em z=75 \mathrm{ft} e a válvula parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para 0,1 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s}, esboce a curva do sistema para esta condição de operação. Você esperaria que a eficiência da bomba fosse maior para a primeira ou para a segunda condição de operação? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; aqui eu resumo exatamente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do tubo: }D=3\,\text{in}=0{,}25\,\text{ft}.\\\ &\text{Seção de aspiração: entrada bem-arredondada (1), 1 cotovelo de }90^\circ\text{ e }L_{s}=50\,\text{ft de tubo}.\\\ &\text{Seção de recalque: 2 cotovelos de }90^\circ,\;1\text{ válvula de gaveta e }L_{r}=150\,\text{ft de tubo}.\\\ &\text{Nível do lago (origem): }z=0\quad\text{e nível do reservatório: }z=70\,\text{ft (caso base).}\\\ &\text{Fluido: água (assumo propriedades padrão a temperatura ambiente).}\\\ &\text{Diâmetro uniforme em todo trecho (sucção + recalque).} \end{aligned}âçãçãçãáííóáãâçã
Perguntas que o enunciado faz:
\begin{aligned} &1.\\ \text{Calcular a curva de vazão do sistema (ou seja, }H_{\text{sys}}(Q)\text{).}\\\ &2.\\ \text{Estimar o ponto de operação do sistema.}\\\ &3.\\ \text{Determinar a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é }80\%.\\\ &4.\\ \text{Esboçar a curva do sistema quando o nível do tanque superior for }z=90\,\text{ft}.\\\ &5.\\ \text{Se o nível do tanque for }z=75\,\text{ft e a válvula parcialmente fechada reduz a vazão para }Q=0{,}1\,\text{ft}^3/\text{s},\\\ &\qquad\text{esboçar a curva para essa condição e comentar sobre a eficiência (comparar primeiros e segundo casos).} \end{aligned}ãçãêçãêçãéçííáãççãê
Observação prática (importante): para achar o ponto de operação numericamente precisamos da curva característica da bomba H_{\text{bomba}}(Q). O enunciado que você me enviou não traz essa curva nem parâmetros numéricos da bomba. Portanto, não posso fornecer um valor numérico exato do ponto de operação nem da potência de alimentação correspondente ao ponto de operação sem essa curva. O que posso (e vou) fazer: calcular detalhadamente a curva do sistema H_{\text{sys}}(Q), mostrar como determinar o ponto de operação (interseção com a curva da bomba) e calcular a potência para casos concretos que são pedidos (por exemplo quando a vazão for fixada em Q=0{,}1\,\text{ft}^3/\text{s}). Vou também explicar todas as hipóteses que estou adotando e ensinar a teoria necessária passo a passo.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas fundamentais — vamos fazer com calma porque isso é que cai na prova.
  1. O que é a “curva do sistema”?
    A curva do sistema dá a altura manométrica total que a bomba deve fornecer para uma dada vazão Q. Matematicamente:
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + h_f(Q) + h_m(Q),
onde
  • \Delta z é a diferença de nível entre a superfície do reservatório de sucção e do reservatório de descarga (aqui \Delta z=70\,\text{ft} no caso base),
  • h_f é a perda de carga por atrito (perda “maior” ao longo do comprimento do tubo),
  • h_m é a soma das perdas localizadas (ou perdas menores) devido a entradas, cotovelos, válvulas, etc.
  1. Fórmulas para h_f e h_m:
  • Perda por atrito (modelo de Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L_{\text{total}}}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy, L_{\text{total}} é o comprimento total do tubo (sucção + recalque), D é o diâmetro, V é a velocidade média do fluido na tubulação e g a aceleração gravitacional.
  • Perdas localizadas:
h_m=K_{\text{total}}\,\frac{V^2}{2g},
onde K_{\text{total}} é a soma dos fatores K de cada peça (entrada, cotovelos, válvula, etc.).
  1. Relação entre Q e V:
V=\frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Portanto
\frac{V^2}{2g}=\frac{Q^2}{2g\,A^2}.
  1. Combinando tudo:
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + \Big(f\frac{L_{\text{total}}}{D}+K_{\text{total}}\Big)\frac{Q^2}{2g\,A^2}.
Note que f depende de Q via o número de Reynolds Re, portanto a expressão é implicitamente dependente de Q. Para obter números práticos usamos uma fórmula explícita para f (Swamee–Jain, que é uma forma aproximada da equação de Colebrook e dá f para escoamento turbulento):
Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\bigg[\log_{10}\!\Big(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\Big)\bigg]^2},
onde \varepsilon é a rugosidade absoluta do material do tubo e
Re=\frac{VD}{\nu}=\frac{QD}{A\nu}.
  1. Constantes e hipóteses práticas (vou explicitar e justificar):
  • aceleração da gravidade: g=32{,}2\\ \text{ft/s}^2.
  • kinemática da água (à temperatura ambiente): \nu\approx 1{,}1\times10^{-5}\\ \text{ft}^2/\text{s}. (valor típico; se a prova der outro, troque sem problemas.)
  • rugosidade para ferro galvanizado: vou adotar \varepsilon=1{,}5\times10^{-4}\\ \text{ft} (valor típico de aço/ferro galvanizado; se o enunciado der outro, usar o dado).
  • fatores K típicos (valores de catálogo / tabelas industriais):
    • entrada bem-arredondada: K_{\text{ent}}\approx 0{,}04,
    • cotovelo padrão 90^\circ: K_{\text{elbow}}\approx 0{,}3 (cada um),
    • válvula de gaveta completamente aberta: K_{\text{valve\_open}}\approx 0{,}15. (Se a válvula estiver parcialmente fechada, K aumenta muito.)
      Esses valores são aproximações típicas usadas em exercícios; eu vou empregá-los e explico como mudar caso você tenha tabela diferente.

Passo 3

Cálculos numéricos detalhados passo a passo para obter a expressão prática de H_{\text{sys}}(Q).
  1. Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}25)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}015625\approx 0{,}0490874\\ \text{ft}^2.
  1. Relação V^2/(2g) em função de Q:
\frac{V^2}{2g}=\frac{Q^2}{2gA^2}.
Calcule o denominador numérico:
2gA^2 = 2\cdot 32{,}2\cdot (0{,}0490874)^2 \approx 0{,}1557886.
Portanto
\frac{V^2}{2g}\approx \frac{Q^2}{0{,}1557886}\approx 6{,}4188\,Q^2,
onde Q está em \text{ft}^3/\text{s} e o resultado em pés.
  1. Comprimento total e razão L/D:
L_{\text{total}}=50+150=200\\ \text{ft},\qquad \frac{L_{\text{total}}}{D}=\frac{200}{0{,}25}=800.
  1. Soma dos K das perdas locais (usando as suposições acima):
K_{\text{total}}=K_{\text{ent}} + K_{\text{elbow(s)}} + K_{\text{valve}} = 0{,}04 + (1\times 0{,}3) + (2\times 0{,}3) + 0{,}15 = 1{,}39.
Obs.: Somei 1 cotovelo na sucção e 2 no recalque (conforme enunciado).
  1. Escrevendo H_{\text{sys}}(Q) com os coeficientes numéricos:
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + \bigg(f\cdot 800 + 1{,}39\bigg)\frac{Q^2}{2gA^2}.
Usando \dfrac{1}{2gA^2}\approx 6{,}4188 achamos
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + \big(5135{,}04\,f + 8{,}9191\big)\,Q^2.
Esse é um formato muito útil: a parte entre parênteses multiplica Q^2; o termo f depende de Q por meio do Re.
  1. Expressão para o número de Reynolds em função de Q (útil para calcular f):
Re=\frac{Q D}{A\nu}.
Calcule a constante multiplicativa:
\frac{D}{A\nu}=\frac{0{,}25}{0{,}0490874\times 1{,}1\times 10^{-5}}\approx 4{,}62944\times 10^{5}.
Logo
Re\approx 4{,}62944\times 10^{5}\,Q.
  1. Agora vamos avaliar H_{\text{sys}}(Q) em pontos discretos (isso é o que você faria para esboçar a curva e para usar na interseção com a curva da bomba). Vou calcular f com Swamee–Jain em cada ponto e então H_{\text{sys}}.
Fazendo as contas (mostrar detalhadamente cada passo seria muito repetitivo; eu faço os cálculos numéricos e mostro resultados arredondados razoavelmente):
Para Q=0:
H_{\text{sys}}(0)=\Delta z=70\\ \text{ft}.
Para Q=0{,}1\\ \text{ft}^3/\text{s}:
Re\approx 4{,}62944\times10^{5}\times 0{,}1 \approx 46294.
Aplicando Swamee–Jain com \varepsilon/(3{,}7D)=\dfrac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\times0{,}25}\approx 1{,}6216\times 10^{-4}, obtemos f\approx 0{,}02322. Isso dá:
H_{\text{sys}}(0{,}1)\approx 70 + (5135{,}04\cdot 0{,}02322 + 8{,}9191)\cdot(0{,}1)^2 \approx 71{,}281\\ \text{ft}.
Para Q=0{,}2:
Re\approx 92588,\quad f\approx 0{,}02103,
H_{\text{sys}}(0{,}2)\approx 74{,}676\\ \text{ft}.
Para Q=0{,}3:
Re\approx 138882,\quad f\approx 0{,}02011,
H_{\text{sys}}(0{,}3)\approx 80{,}097\\ \text{ft}.
Para Q=0{,}4:
Re\approx 185177,\quad f\approx 0{,}01957,
H_{\text{sys}}(0{,}4)\approx 87{,}501\\ \text{ft}.
Para Q=0{,}5:
Re\approx 231472,\quad f\approx 0{,}01919,
H_{\text{sys}}(0{,}5)\approx 96{,}880\\ \text{ft}.
Resumo dos pontos (útil para desenhar a curva do sistema):
\begin{aligned} &H_{\text{sys}}(0)=70{,}00\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}1)\approx 71{,}28\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}2)\approx 74{,}68\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}3)\approx 80{,}10\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}4)\approx 87{,}50\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}5)\approx 96{,}88\\ \text{ft}. \end{aligned}
Observação prática: para a maioria das vazões úteis aqui a expressão pode ser aproximada por uma parábola do tipo
H_{\text{sys}}(Q)\approx 70 + C\,Q^2,
onde C fica aproximadamente entre 110 e 128 dependendo da faixa de Q. Uma boa aproximação média para desenho rápido é
H_{\text{sys}}(Q)\approx 70 + 110\,Q^2\quad(\text{com }Q\\ \text{em ft}^3/\text{s}).

Passo 4

Como achar o ponto de operação (explicação didática e procedimento):
  • O ponto de operação é a solução da equação
H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sys}}(Q).
  • Para encontrá-lo numericamente: pegue a curva da bomba (normalmente dada pelo fabricante como uma parábola ou tabela) e resolva graficamente ou numericamente (intersecção). Se H_{\text{bomba}}(Q) for uma expressão analítica, iguale as duas expressões e resolva (normalmente resulta numa equação não linear que se resolve por iteração).
  • Importante: H_{\text{sys}} já está pronta (veja tabela anterior). Sem a curva da bomba, não há uma única solução numérica. Portanto, repito: preciso da curva da bomba para dar o valor numérico do ponto de operação.
Como eu mostrei a tabela de H_{\text{sys}}(Q), bastaria sobrepor os pontos/curva da bomba e achar a interseção. Se você me enviar a curva da bomba (mesmo apenas dois pontos: shut-off head e Q máximo), eu faço a interseção na hora.

Passo 5

Determinar a potência de alimentação da bomba (fórmulas e cálculo quando possível):
  • Potência hidráulica (energia por unidade de tempo dada pela bomba) é
P_{\text{hid}}=\gamma\,Q\,H_{\text{bomba}}(Q),
onde \gamma é o peso específico da água: \gamma\approx 62{,}4\\ \text{lb/ft}^3. A unidade de P_{\text{hid}} fica em ft·lb/s; para converter para cavalos-vapor (HP) divide-se por 550 (porque 1\\ \text{HP}=550\\ \text{ft·lb/s}). A potência de alimentação elétrica (entrada) considerando eficiência \eta é
P_{\text{in}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}=\frac{\gamma\,Q\,H_{\text{bomba}}(Q)}{\eta}.
  • Novamente: para o ponto de operação preciso de H_{\text{bomba}}(Q_{\text{op}}). Como não tenho H_{\text{bomba}}(Q), não posso dar P_{\text{in}} no ponto de operação exato. Contudo, o enunciado pede também um caso concreto: quando a válvula é parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para Q=0{,}1\,\text{ft}^3/\text{s} e o nível do tanque é z=75\,\text{ft}. Nessa situação podemos calcular a potência que a bomba precisa fornecer naquela vazão específica, pois já temos H_{\text{sys}}(0{,}1) para z=75.
Cálculo para o caso pedido ( z=75 e Q=0{,}1):
H_{\text{sys}}(0{,}1;z=75)=75 + \big(\text{perdas calculadas para }Q=0{,}1\big)\approx 75 + 1{,}281\approx 76{,}281\\ \text{ft}.
Potência hidráulica:
P_{\text{hid}}=\gamma Q H \approx 62{,}4\times 0{,}1 \times 76{,}281 \approx 476{,}05\\ \text{ft·lb/s}.
Convertendo para HP e considerando eficiência \eta=0{,}8:
P_{\text{in}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta\cdot 550}\approx \frac{476{,}05}{0{,}8\cdot 550}\approx 1{,}082\\ \text{HP}.
Para comparação: se quiséssemos saber a potência quando z=70 e Q=0{,}1 (apenas como exemplo), já calculamos H_{\text{sys}}(0{,}1;z=70)\approx 71{,}281\\ \text{ft}, então
P_{\text{hid}}\approx 62{,}4\times 0{,}1\times 71{,}281\approx 444{,}78\\ \text{ft·lb/s},
P_{\text{in}}\approx \frac{444{,}78}{0{,}8\cdot 550}\approx 1{,}011\\ \text{HP}.
Observação final sobre a pergunta original “Determine a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é 80\%” — sem a curva da bomba eu não posso fornecer o valor no ponto de operação; o que fiz foi mostrar como calcular quando Q e H estão conhecidos (como no caso com a válvula parcialmente fechada).

Passo 6

Esboços das curvas do sistema em diferentes condições (descrição para você desenhar — e como interpretar):
  1. Situação base ( z=70). Curva: plote H vertical vs Q horizontal usando os pontos da tabela:
(0,70),\\ (0{,}1,71{,}28),\\ (0{,}2,74{,}68),\\ (0{,}3,80{,}10),\\ (0{,}4,87{,}50),\\ (0{,}5,96{,}88).
A curva parte de 70\\ \text{ft} em Q=0 e sobe aproximadamente como uma parábola (proporcional a Q^2).
  1. Quando o nível do tanque sobe para z=90: a curva do sistema simplesmente se desloca verticalmente para cima em 20\\ \text{ft}:
H_{\text{sys},90}(Q)=H_{\text{sys},70}(Q)+20.
No gráfico você desenha a mesma forma parabólica, mas deslocada para cima 20 ft. A interseção com a curva da bomba mover-se-á para a esquerda (menor Q) e/ou maior H, dependendo da forma da curva da bomba.
  1. Quando o nível do tanque é z=75 e a válvula é parcialmente fechada para reduzir a vazão para Q=0{,}1: existem duas maneiras de interpretar isso:
  • se a válvula é fechada até conseguir a vazão de 0{,}1 dada a curva da bomba, então a curva efetiva do sistema se torna mais íngreme (a válvula adiciona um K grande), e a nova curva cruza a curva da bomba em Q=0{,}1; desenhe uma curva mais alta/mais íngreme que passe por H\approx 76{,}28\\ \text{ft} em Q=0{,}1.
  • se você simplesmente fixa o fluxo em 0{,}1 (por exemplo um controle externo), o ponto de operação é onde H_{\text{bomba}}(0{,}1)=H_{\text{sys}}(0{,}1). Novamente, sem H_{\text{bomba}} não posso dizer onde exatamente, mas já calculei H_{\text{sys}}(0{,}1;z=75) acima.

Passo 7

Comparação de eficiência entre as condições — explicação física (didática e franca):
  • Bombas centrífugas têm uma vazão de melhor eficiência (BEP — Best Efficiency Point). Longe desse ponto (especialmente em vazões muito baixas), a eficiência cai: surgem recirculações internas, fluxo não uniforme, separações, perdas internas maiores e cavitação em alguns casos; tudo isso reduz eficiência.
  • Na condição em que você força a válvula a diminuir a vazão para 0{,}1\,\text{ft}^3/\text{s} (situação de estrangulamento), a bomba frequentemente estará operando à esquerda do seu BEP (regime de baixo fluxo) e, portanto, com eficiência menor.
  • Conclusão: eu esperaria que a eficiência da bomba fosse maior na primeira condição (a condição natural de operação sem estrangulamento excessivo) do que na segunda (válvula parcialmente fechada levando a Q=0{,}1). Em palavras amigáveis: estrangular a bomba para reduzir vazão piora a eficiência.

Resposta

A curva do sistema é
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + \big(5135{,}04\,f(Q) + 8{,}9191\big)\,Q^2,
com \Delta z=70\,\text{ft} (caso base) e f(Q) dado por Swamee–Jain usando \varepsilon=1{,}5\times10^{-4}\,\text{ft} e \nu=1{,}1\times10^{-5}\,\text{ft}^2/\text{s}. Pontos para esboço da curva ( z=70):
\begin{aligned} &H_{\text{sys}}(0)=70{,}00\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}1)\approx 71{,}28\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}2)\approx 74{,}68\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}3)\approx 80{,}10\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}4)\approx 87{,}50\\ \text{ft},\\\ &H_{\text{sys}}(0{,}5)\approx 96{,}88\\ \text{ft}. \end{aligned}
Estimativa do ponto de operação: não é possível fornecer um valor numérico do ponto de operação sem a curva característica da bomba H_{\text{bomba}}(Q); o ponto de operação se obtém resolvendo H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sys}}(Q).
Potência de alimentação da bomba: não dá para calcular no ponto de operação enquanto H_{\text{bomba}}(Q_{\text{op}}) não for conhecida. Exemplo concreto calculado para o caso pedido (quando z=75 e a válvula foi ajustada para Q=0{,}1):
H_{\text{sys}}(0{,}1;z=75)\approx 76{,}281\\ \text{ft},
P_{\text{in}}=\frac{\gamma Q H}{\eta}\cdot\frac{1}{550}\approx \frac{62{,}4\times 0{,}1 \times 76{,}281}{0{,}8\times 550}\approx 1{,}082\\ \text{HP}.
Se z=70 e Q=0{,}1 (apenas como exemplo comparativo):
P_{\text{in}}\approx 1{,}011\\ \text{HP}.
Curva quando o nível sobe para z=90: é a mesma parábola de perdas, deslocada para cima em 20\\ \text{ft} (ou seja, H_{\text{sys},90}(Q)=H_{\text{sys},70}(Q)+20).
Curva com válvula parcialmente fechada para forçar Q=0{,}1: a curva do sistema fica mais íngreme (a válvula adiciona um K extra), deslocando-se para cima de modo a cruzar a curva da bomba em Q=0{,}1. Sem a curva da bomba não dá para quantificar o K extra necessário nem a nova curva exata.
Eficiência: é esperável que a eficiência seja maior na primeira condição (operando sem estrangulamento) do que na segunda (válvula parcialmente fechada reduzindo Q a 0{,}1), porque estrangular a vazão normalmente coloca a bomba fora do seu BEP e reduz a eficiência.

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