10.77 Água é bombeada de um lago (em
) para um grande reservatório localizado sobre uma encosta acima do lago. O tubo é de ferro galvanizado com 3 in de diâmetro. A seção de aspiração (entre o lago e a bomba) inclui uma entrada bem-arredondada, um cotovelo padrão de
e 50 ft de tubo. A seção de recalque (entre a saída da bomba e a descarga para o tanque aberto) inclui 2 cotovelos padrões de
, uma válvula de gaveta e 150 ft de tubo. O tubo de descarga (pela lateral inferior do tanque) está a uma altura
. Calcule a curva de vazão do sistema. Estime o ponto de operação do sistema. Determine a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é
. Esboce a curva do sistema, quando o nível de água no tanque superior atinge
. Se o nível de água no tanque superior está em
e a válvula parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para 0,1
, esboce a curva do sistema para esta condição de operação. Você esperaria que a eficiência da bomba fosse maior para a primeira ou para a segunda condição de operação? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; aqui eu resumo exatamente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Perguntas que o enunciado faz:
Observação prática (importante): para achar o ponto de operação numericamente precisamos da curva característica da bomba
. O enunciado que você me enviou não traz essa curva nem parâmetros numéricos da bomba. Portanto, não posso fornecer um valor numérico exato do ponto de operação nem da potência de alimentação correspondente ao ponto de operação sem essa curva. O que posso (e vou) fazer: calcular detalhadamente a curva do sistema
, mostrar como determinar o ponto de operação (interseção com a curva da bomba) e calcular a potência para casos concretos que são pedidos (por exemplo quando a vazão for fixada em
). Vou também explicar todas as hipóteses que estou adotando e ensinar a teoria necessária passo a passo.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas fundamentais — vamos fazer com calma porque isso é que cai na prova.
- O que é a “curva do sistema”?
A curva do sistema dá a altura manométrica total que a bomba deve fornecer para uma dada vazão. Matematicamente:
onde
-
é a diferença de nível entre a superfície do reservatório de sucção e do reservatório de descarga (aqui no caso base), -
é a perda de carga por atrito (perda “maior” ao longo do comprimento do tubo), -
é a soma das perdas localizadas (ou perdas menores) devido a entradas, cotovelos, válvulas, etc.
- Fórmulas para
e :
- Perda por atrito (modelo de Darcy–Weisbach):
onde
é o fator de atrito de Darcy,
é o comprimento total do tubo (sucção + recalque),
é o diâmetro,
é a velocidade média do fluido na tubulação e
a aceleração gravitacional.
- Perdas localizadas:
onde
é a soma dos fatores
de cada peça (entrada, cotovelos, válvula, etc.).
- Relação entre
e :
Portanto
- Combinando tudo:
Note que
depende de
via o número de Reynolds
, portanto a expressão é implicitamente dependente de
. Para obter números práticos usamos uma fórmula explícita para
(Swamee–Jain, que é uma forma aproximada da equação de Colebrook e dá
para escoamento turbulento):
Swamee–Jain:
onde
é a rugosidade absoluta do material do tubo e
- Constantes e hipóteses práticas (vou explicitar e justificar):
- aceleração da gravidade:
. - kinemática da água (à temperatura ambiente):
. (valor típico; se a prova der outro, troque sem problemas.) - rugosidade para ferro galvanizado: vou adotar
(valor típico de aço/ferro galvanizado; se o enunciado der outro, usar o dado). - fatores
típicos (valores de catálogo / tabelas industriais): - entrada bem-arredondada:
, - cotovelo padrão
: (cada um), - válvula de gaveta completamente aberta:
. (Se a válvula estiver parcialmente fechada, aumenta muito.)
Esses valores são aproximações típicas usadas em exercícios; eu vou empregá-los e explico como mudar caso você tenha tabela diferente.
- entrada bem-arredondada:
Passo 3
Cálculos numéricos detalhados passo a passo para obter a expressão prática de
.
- Área da seção:
- Relação
em função de :
Calcule o denominador numérico:
Portanto
onde
está em
e o resultado em pés.
- Comprimento total e razão
:
- Soma dos
das perdas locais (usando as suposições acima):
Obs.: Somei 1 cotovelo na sucção e 2 no recalque (conforme enunciado).
- Escrevendo
com os coeficientes numéricos:
Usando
achamos
Esse é um formato muito útil: a parte entre parênteses multiplica
; o termo
depende de
por meio do
.
- Expressão para o número de Reynolds em função de
(útil para calcular ):
Calcule a constante multiplicativa:
Logo
- Agora vamos avaliar
em pontos discretos (isso é o que você faria para esboçar a curva e para usar na interseção com a curva da bomba). Vou calcular com Swamee–Jain em cada ponto e então .
Fazendo as contas (mostrar detalhadamente cada passo seria muito repetitivo; eu faço os cálculos numéricos e mostro resultados arredondados razoavelmente):
Para
:
Para
:
Aplicando Swamee–Jain com
, obtemos
. Isso dá:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resumo dos pontos (útil para desenhar a curva do sistema):
Observação prática: para a maioria das vazões úteis aqui a expressão pode ser aproximada por uma parábola do tipo
onde
fica aproximadamente entre
e
dependendo da faixa de
. Uma boa aproximação média para desenho rápido é
Passo 4
Como achar o ponto de operação (explicação didática e procedimento):
- O ponto de operação é a solução da equação
- Para encontrá-lo numericamente: pegue a curva da bomba (normalmente dada pelo fabricante como uma parábola ou tabela) e resolva graficamente ou numericamente (intersecção). Se
for uma expressão analítica, iguale as duas expressões e resolva (normalmente resulta numa equação não linear que se resolve por iteração). - Importante:
já está pronta (veja tabela anterior). Sem a curva da bomba, não há uma única solução numérica. Portanto, repito: preciso da curva da bomba para dar o valor numérico do ponto de operação.
Como eu mostrei a tabela de
, bastaria sobrepor os pontos/curva da bomba e achar a interseção. Se você me enviar a curva da bomba (mesmo apenas dois pontos: shut-off head e Q máximo), eu faço a interseção na hora.
Passo 5
Determinar a potência de alimentação da bomba (fórmulas e cálculo quando possível):
- Potência hidráulica (energia por unidade de tempo dada pela bomba) é
onde
é o peso específico da água:
. A unidade de
fica em ft·lb/s; para converter para cavalos-vapor (HP) divide-se por
(porque
). A potência de alimentação elétrica (entrada) considerando eficiência
é
- Novamente: para o ponto de operação preciso de
. Como não tenho , não posso dar no ponto de operação exato. Contudo, o enunciado pede também um caso concreto: quando a válvula é parcialmente fechada de modo a reduzir a vazão para e o nível do tanque é . Nessa situação podemos calcular a potência que a bomba precisa fornecer naquela vazão específica, pois já temos para .
Cálculo para o caso pedido (
e
):
Potência hidráulica:
Convertendo para HP e considerando eficiência
:
Para comparação: se quiséssemos saber a potência quando
e
(apenas como exemplo), já calculamos
, então
Observação final sobre a pergunta original “Determine a potência de alimentação da bomba, se a eficiência no ponto de operação é
” — sem a curva da bomba eu não posso fornecer o valor no ponto de operação; o que fiz foi mostrar como calcular quando
e
estão conhecidos (como no caso com a válvula parcialmente fechada).
Passo 6
Esboços das curvas do sistema em diferentes condições (descrição para você desenhar — e como interpretar):
- Situação base (
). Curva: plote vertical vs horizontal usando os pontos da tabela:
A curva parte de
em
e sobe aproximadamente como uma parábola (proporcional a
).
- Quando o nível do tanque sobe para
: a curva do sistema simplesmente se desloca verticalmente para cima em :
No gráfico você desenha a mesma forma parabólica, mas deslocada para cima 20 ft. A interseção com a curva da bomba mover-se-á para a esquerda (menor
) e/ou maior
, dependendo da forma da curva da bomba.
- Quando o nível do tanque é
e a válvula é parcialmente fechada para reduzir a vazão para : existem duas maneiras de interpretar isso:
- se a válvula é fechada até conseguir a vazão de
dada a curva da bomba, então a curva efetiva do sistema se torna mais íngreme (a válvula adiciona um grande), e a nova curva cruza a curva da bomba em ; desenhe uma curva mais alta/mais íngreme que passe por em . - se você simplesmente fixa o fluxo em
(por exemplo um controle externo), o ponto de operação é onde . Novamente, sem não posso dizer onde exatamente, mas já calculei acima.
Passo 7
Comparação de eficiência entre as condições — explicação física (didática e franca):
- Bombas centrífugas têm uma vazão de melhor eficiência (BEP — Best Efficiency Point). Longe desse ponto (especialmente em vazões muito baixas), a eficiência cai: surgem recirculações internas, fluxo não uniforme, separações, perdas internas maiores e cavitação em alguns casos; tudo isso reduz eficiência.
- Na condição em que você força a válvula a diminuir a vazão para
(situação de estrangulamento), a bomba frequentemente estará operando à esquerda do seu BEP (regime de baixo fluxo) e, portanto, com eficiência menor. - Conclusão: eu esperaria que a eficiência da bomba fosse maior na primeira condição (a condição natural de operação sem estrangulamento excessivo) do que na segunda (válvula parcialmente fechada levando a
). Em palavras amigáveis: estrangular a bomba para reduzir vazão piora a eficiência.
Resposta
A curva do sistema é
com
(caso base) e
dado por Swamee–Jain usando
e
. Pontos para esboço da curva (
):
Estimativa do ponto de operação: não é possível fornecer um valor numérico do ponto de operação sem a curva característica da bomba
; o ponto de operação se obtém resolvendo
.
Potência de alimentação da bomba: não dá para calcular no ponto de operação enquanto
não for conhecida. Exemplo concreto calculado para o caso pedido (quando
e a válvula foi ajustada para
):
Se
e
(apenas como exemplo comparativo):
Curva quando o nível sobe para
: é a mesma parábola de perdas, deslocada para cima em
(ou seja,
).
Curva com válvula parcialmente fechada para forçar
: a curva do sistema fica mais íngreme (a válvula adiciona um
extra), deslocando-se para cima de modo a cruzar a curva da bomba em
. Sem a curva da bomba não dá para quantificar o
extra necessário nem a nova curva exata.
Eficiência: é esperável que a eficiência seja maior na primeira condição (operando sem estrangulamento) do que na segunda (válvula parcialmente fechada reduzindo
a
), porque estrangular a vazão normalmente coloca a bomba fora do seu BEP e reduz a eficiência.