10.82 Dados de desempenho para um ventilador centrífugo Tipo BL da Buffalo Forge, de 36,5 in de diâmetro, testado a 600 rpm , são
Vazão volumétrica, Q (cfm) 6000 8000 10.000 12.000 14.000 16.000
Aumento de pressão estática, \Delta p\left(\mathrm{inH}_{2} \mathrm{O}\right) 2,10 2,00 1,76 1,37 0,92 0,42
Potência de alimentação, \mathscr{P}(\mathrm{hp}) 2,75 3,18 3,48 3,51 3,50 3,22
Trace um gráfico dos dados de desempenho versus vazão volumétrica. Calcule a eficiência estática e mostre a curva no gráfico. Determine o ponto de melhor eficiência e especifique os valores de operação do ventilador neste ponto.

Passo 1

O enunciado fornece os dados experimentais do ventilador (velocidade fixa de 600 rpm) em seis pontos de operação e pede três coisas:
  • Traçar um gráfico dos dados de desempenho versus vazão volumétrica.
  • Calcular a eficiência estática e desenhar a curva de eficiência no gráfico.
  • Determinar o ponto de melhor eficiência e especificar os valores de operação do ventilador nesse ponto.
Dados fornecidos (peguei os números diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{lrrrrrr} \hline \text{Vazão }Q\\ (\text{cfm}) & 6000 & 8000 & 10000 & 12000 & 14000 & 16000\\\ \hline \Delta p\\ (\text{inH}_2\text{O}) & 2,10 & 2,00 & 1,76 & 1,37 & 0,92 & 0,42\\\ \hline \mathscr{P}_{in}\\ (\text{hp}) & 2,75 & 3,18 & 3,48 & 3,51 & 3,50 & 3,22\\\ \hline \end{array}
O que temos de achar/mostrar:
  • A curva \Delta p versus Q e a curva \mathscr{P}_{in} versus Q (para o gráfico de desempenho).
  • A curva da eficiência estática \eta_s versus Q.
  • O ponto onde \eta_s é máxima e os valores Q, \Delta p, \mathscr{P}_{in} e \eta_s nesse ponto.

Passo 2

Vamos entender como calcular a eficiência estática. A eficiência estática é a razão entre a potência útil fornecida ao fluido (potência estática entregue pelo ventilador) e a potência elétrica/mecânica fornecida ao eixo (alimentação) do ventilador. Em fórmulas:
\eta_s=\frac{\text{Potência estática entregue ao ar}}{\text{Potência de entrada}}.êáê
Precisamos transformar a pressão e vazão dadas nas unidades do numerador em hp (mesma unidade da potência de entrada). Procedimento para a potência estática:
  • Pressão dada em \text{inH}_2\text{O}. Convertemos para \text{lbf}/\text{ft}^2 usando a relação conhecida (obtida de constantes físicas): 1\\ \text{inH}_2\text{O} = 5{,}2027\\ \text{lbf}/\text{ft}^2.
  • Vazão Q está em \text{ft}^3/\text{min} (cfm). Para potência precisamos de \text{ft}^3/\text{s}, então dividimos por 60.
  • Potência (em \text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{s}) é pressão ( \text{lbf}/\text{ft}^2) vezes vazão ( \text{ft}^3/\text{s}). Para converter essa potência para hp usamos 1\\ \text{hp}=550\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{s}.
Juntando tudo escrevemos a fórmula direta (apenas a fórmula, sem texto misturado):
\mathscr{P}_{out,\;static}\\ (\text{hp})=\frac{\Delta p\\ (\text{inH}_2\text{O})\times 5{,}2027\\ \left(\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}\right)\times \dfrac{Q\\ (\text{ft}^3/\text{min})}{60}}{550}.
Podemos simplificar a constante:
\frac{5{,}2027}{60\times 550}=\frac{5{,}2027}{33\,000}\approx 0{,}00015766.
Logo a fórmula prática usada será:
\mathscr{P}_{out,\;static}\\ (\text{hp}) \approx 0{,}00015766\;Q\;(\text{cfm})\;\Delta p\;(\text{inH}_2\text{O}).
E a eficiência estática:
\eta_s=\frac{\mathscr{P}_{out,\;static}}{\mathscr{P}_{in}}.
(Vou calcular \mathscr{P}_{out,\;static} para cada ponto usando a constante acima e depois \eta_s.)

Passo 3

Calculemos a potência estática \mathscr{P}_{out,\;static} para cada par (Q,\Delta p) usando
\mathscr{P}_{out,\;static}=0{,}00015766\;Q\;\Delta p.
  1. Para Q=6000\\ \text{cfm} e \Delta p=2{,}10\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=6000\times 2{,}10=12\,600,
\mathscr{P}_{out} =0{,}00015766\times 12\,600 =1{,}9865\\ \text{hp}.
  1. Para Q=8000\\ \text{cfm} e \Delta p=2{,}00\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=8000\times 2{,}00=16\,000,
\mathscr{P}_{out}=0{,}00015766\times 16\,000=2{,}5226\\ \text{hp}.
  1. Para Q=10000\\ \text{cfm} e \Delta p=1{,}76\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=10\,000\times 1{,}76=17\,600,
\mathscr{P}_{out}=0{,}00015766\times 17\,600=2{,}7748\\ \text{hp}.
  1. Para Q=12000\\ \text{cfm} e \Delta p=1{,}37\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=12\,000\times 1{,}37=16\,440,
\mathscr{P}_{out}=0{,}00015766\times 16\,440=2{,}5920\\ \text{hp}.
  1. Para Q=14000\\ \text{cfm} e \Delta p=0{,}92\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=14\,000\times 0{,}92=12\,880,
\mathscr{P}_{out}=0{,}00015766\times 12\,880=2{,}0307\\ \text{hp}.
  1. Para Q=16000\\ \text{cfm} e \Delta p=0{,}42\\ \text{inH}_2\text{O}:
Q\Delta p=16\,000\times 0{,}42=6\,720,
\mathscr{P}_{out}=0{,}00015766\times 6\,720=1{,}0595\\ \text{hp}.
Resumo dos valores calculados (valores de \mathscr{P}_{out} em hp, arredondados a 4 casas decimais):
\begin{array}{lrrrrrr} Q\\ (\text{cfm}) & 6000 & 8000 & 10000 & 12000 & 14000 & 16000\\\ \mathscr{P}_{out}\\ (\text{hp}) & 1{,}9865 & 2{,}5226 & 2{,}7748 & 2{,}5920 & 2{,}0307 & 1{,}0595 \end{array}

Passo 4

Agora calculamos a eficiência estática em cada ponto:
\eta_s=\frac{\mathscr{P}_{out}}{\mathscr{P}_{in}}.
  1. Q=6000: \eta_s=\dfrac{1{,}9865}{2{,}75}=0{,}7224\approx 72{,}24\%.
  2. Q=8000: \eta_s=\dfrac{2{,}5226}{3{,}18}=0{,}7935\approx 79{,}35\%.
  3. Q=10000: \eta_s=\dfrac{2{,}7748}{3{,}48}=0{,}7977\approx 79{,}77\%.
  4. Q=12000: \eta_s=\dfrac{2{,}5920}{3{,}51}=0{,}7386\approx 73{,}86\%.
  5. Q=14000: \eta_s=\dfrac{2{,}0307}{3{,}50}=0{,}5802\approx 58{,}02\%.
  6. Q=16000: \eta_s=\dfrac{1{,}0595}{3{,}22}=0{,}3290\approx 32{,}90\%.
Colocando tudo numa tabela para facilitar o traçado do gráfico (valores arredondados):
\begin{array}{lrrrrrr} Q\\ (\text{cfm}) & 6000 & 8000 & 10000 & 12000 & 14000 & 16000\\\ \Delta p\\ (\text{inH}_2\text{O}) & 2{,}10 & 2{,}00 & 1{,}76 & 1{,}37 & 0{,}92 & 0{,}42\\\ \mathscr{P}_{in}\\ (\text{hp}) & 2{,}75 & 3{,}18 & 3{,}48 & 3{,}51 & 3{,}50 & 3{,}22\\\ \mathscr{P}_{out}\\ (\text{hp}) & 1{,}9865 & 2{,}5226 & 2{,}7748 & 2{,}5920 & 2{,}0307 & 1{,}0595\\\ \eta_s\\ (\%) & 72{,}24 & 79{,}35 & 79{,}77 & 73{,}86 & 58{,}02 & 32{,}90 \end{array}
Observação didática: perceba que a eficiência sobe de 6000 para 10000 cfm e depois cai — isso é típico: existe uma vazão de melhor rendimento onde a combinação pressão-vazão maximiza a potência útil relativa à potência absorvida.

Passo 5

Instruções claras para traçar o gráfico (faça assim na sua prova ou no computador):
  • Eixos: coloque Q (cfm) no eixo horizontal (x).
  • No eixo vertical (y) pode plotar duas séries principais com a mesma unidade relativa:
    • \Delta p (inH2O) como curva 1 (por exemplo, linhas/bolinhas).
    • \mathscr{P}_{in} (hp) como curva 2 (outra cor).
  • A eficiência \eta_s é uma porcentagem; para mostrá-la no mesmo gráfico:
    • Use um eixo vertical direito (eixo y secundário) marcado em \% e plote \eta_s versus Q (linha com marcadores).
  • Marque claramente o ponto de melhor eficiência (o maior valor de \eta_s) com um símbolo (estrela ou círculo maior) e anote os valores numéricos ao lado.
  • Pontos a plotar (peguei da tabela anterior): para Q=6000,8000,10000,12000,14000,16000 plote \Delta p, \mathscr{P}_{in} e \eta_s com os valores numéricos que calculei.
Se você fizer isso no papel de prova, uma boa apresentação é: desenhar eixos, marcar os 6 valores de Q (uniformemente espaçados), desenhar as curvas aproximadas ligando os pontos e indicar a curva de eficiência no eixo direito. Não precisa de perfeição gráfica, mas tem de ficar claro onde se localiza o pico de eficiência.

Passo 6

Determinação do ponto de melhor eficiência: comparando os valores de \eta_s calculados obtemos os percentuais
72{,}24\%,\\\ 79{,}35\%,\\\ 79{,}77\%,\\\ 73{,}86\%,\\\ 58{,}02\%,\\\ 32{,}90\%.
O maior valor é \eta_s\approx 79{,}77\% no ponto Q=10000\\ \text{cfm}. Portanto esse é o ponto de melhor eficiência dentro dos pontos testados.
Valores de operação do ventilador no ponto de melhor eficiência (peguei os dados da tabela e cálculos):
  • Vazão: Q=10000\\ \text{cfm}.
  • Aumento de pressão estática: \Delta p=1{,}76\\ \text{inH}_2\text{O} (dado da tabela).
  • Potência de alimentação: \mathscr{P}_{in}=3{,}48\\ \text{hp} (dado da tabela).
  • Potência estática entregue ao ar: \mathscr{P}_{out}\approx 2{,}7748\\ \text{hp} (calculei).
  • Eficiência estática: \eta_s\approx 79{,}77\%.
Dica final e incentivo: você já tem aqui tudo para desenhar o gráfico e justificar numericamente o ponto ótimo. Não se assuste com as conversões — o truque é sempre transformar pressão e vazão para as mesmas unidades de potência antes de dividir pela potência de entrada. Você mandou bem por escolher praticar com exercícios do professor — repetir esse procedimento em outros pontos vira hábito rápido. Força aí!

Resposta

Q=10000\\ \text{cfm};\\ \Delta p=1{,}76\\ \text{inH}_2\text{O};\\ \mathscr{P}_{in}=3{,}48\\ \text{hp};\\ \mathscr{P}_{out}\approx 2{,}7748\\ \text{hp};\\ \eta_s\approx 79{,}77\%

Exercícios relacionados