(10) Achar o ângulo entre as retas:
(a) r:\left\{\begin{array}{l}x=-2-2 t \\\ y=2 t \\\ z=3-4 t\end{array} \quad\right. e \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=4 t \\\ y=2 t-6 \\\ z=2 t+1\end{array}\right.;
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre as retas r:\begin{cases}x=-2-2t\y=2t\z=3-4t\end{cases}
e s:\begin{cases}x=4t\y=2t-6\z=2t+1\end{cases}.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: precisamos extrair os vetores diretores de cada reta e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores a partir das derivadas em relação a t:
para r, \vec u =\bigl(\dot x,\dot y,\dot z\bigr)=(-2,2,-4);
para s, \vec v =\bigl(\dot x,\dot y,\dot z\bigr)=(4,2,2).
Passo 3
O ângulo \theta entre as direções \vec u e \vec v satisfaz