(8) São dados os pontos A=(2,1,2), B=(-1,1,-1) e C=(-2,-5,-4).
(a) Os pontos A, B e C formam vértices de um triângulo?

Passo 1

Temos os pontos A=(2,1,2), B=(-1,1,-1) e C=(-2,-5,-4). Para que formem um triângulo, eles não podem ser colineares, ou seja, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não devem ser múltiplos um do outro. Vamos calcular esses vetores e testar a proporcionalidade.

Passo 2

Calculamos
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2,\;1 - 1,\;-1 - 2) = (-3,\;0,\;-3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 2,\;-5 - 1,\;-4 - 2) = (-4,\;-6,\;-6).

Passo 3

Para vetores colineares deve existir k tal que
(-3,0,-3) = k\,( -4,-6,-6 ).
Das componentes teríamos
-3 = -4k,\quad 0 = -6k,\quad -3=-6k.
Da segunda equação k=0, mas da primeira e da terceira k=\tfrac{3}{4} e k=\tfrac12. Como não há um k que satisfaça todas, os vetores não são proporcionais e, portanto, A, B e C não são colineares.

Resposta

Sim. Os pontos A, B e C formam vértices de um triângulo, pois não são colineares.

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