(10) Achar o ângulo entre as retas:
(a) r:\left\{\begin{array}{l}x=-2-2 t \\\ y=2 t \\\ z=3-4 t\end{array} \quad\right. e \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=4 t \\\ y=2 t-6 \\\ z=2 t+1\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas r:\begin{cases}x=-2-2t\y=2t\z=3-4t\end{cases}
e s:\begin{cases}x=4t\y=2t-6\z=2t+1\end{cases}.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: precisamos extrair os vetores diretores de cada reta e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores a partir das derivadas em relação a t:
para r, \vec u =\bigl(\dot x,\dot y,\dot z\bigr)=(-2,2,-4);
para s, \vec v =\bigl(\dot x,\dot y,\dot z\bigr)=(4,2,2).

Passo 3

O ângulo \theta entre as direções \vec u e \vec v satisfaz
\cos\theta = \frac{\bigl|\vec u\cdot\vec v\bigr|}{\|\vec u\|\;\|\vec v\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\vec u\cdot\vec v = (-2)\cdot4 + 2\cdot2 + (-4)\cdot2 = -8 +4 -8 = -12,
\|\vec u\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt6,
\|\vec v\| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt6.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
\cos\theta = \frac{|{-12}|}{(2\sqrt6)(2\sqrt6)} = \frac{12}{4\cdot6} = \frac12,
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = 60^\circ.

Resposta

\theta = 60^\circ.

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