10- Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 \mathrm{mg} e o de zinco é de 2,0 \mathrm{mg}. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabese que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?
Escolha uma:
a. 375 g e 500 g
b. 200 g e 200 g
c. 350 g e 100 g
d. 400 g e 89 g
e. 58 g e 456 g

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de ferro e zinco por 100 g de arroz e por 100 g de feijão, e as necessidades diárias desses minerais. As perguntas são: qual a massa diária de arroz e qual a massa diária de feijão que, combinadas, fornecem exatamente as necessidades diárias de ferro e de zinco?
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • Para cada 100 g de arroz cozido: teor de ferro = 1{,}5\\ \mathrm{mg} e teor de zinco = 2{,}0\\ \mathrm{mg}.
  • Para cada 100 g de feijão cozido: teor de ferro = 7{,}0\\ \mathrm{mg} e teor de zinco = 3{,}0\\ \mathrm{mg}.
  • Necessidades diárias: ferro =12{,}25\\ \mathrm{mg}, zinco =10{,}0\\ \mathrm{mg}.

Passo 2

Definir variáveis e converter para quantidade por grama (para trabalhar direto com gramas):
  • Seja x a massa de arroz em gramas por dia.
  • Seja y a massa de feijão em gramas por dia.
Converter os teores por 100 g para teores por 1 g:
  • Arroz: ferro por grama =\dfrac{1{,}5}{100}=0{,}015\\ \mathrm{mg/g}. Zinco por grama =\dfrac{2{,}0}{100}=0{,}02\\ \mathrm{mg/g}.
  • Feijão: ferro por grama =\dfrac{7{,}0}{100}=0{,}07\\ \mathrm{mg/g}. Zinco por grama =\dfrac{3{,}0}{100}=0{,}03\\ \mathrm{mg/g}.

Passo 3

Montar o sistema linear que representa as exigências diárias:
  • Total de ferro fornecido por x g de arroz e y g de feijão:
0{,}015x + 0{,}07y = 12{,}25.
  • Total de zinco fornecido:
0{,}02x + 0{,}03y = 10.

Passo 4

Avaliar e simplificar para evitar muitos decimais: multiplicar ambas as equações por 100 para obter coeficientes mais simples:
1{,}5x + 7y = 1225,
2x + 3y = 1000.

Passo 5

Resolver o sistema. Usarei substituição a partir da segunda equação. Isolar x em \;2x+3y=1000:
2x = 1000 - 3y \quad\Rightarrow\quad x = 500 - 1{,}5y.
Substituir em 1{,}5x + 7y = 1225:
1{,}5(500 - 1{,}5y) + 7y = 1225.
Calcular passo a passo:
1{,}5\cdot500 = 750,\qquad 1{,}5\cdot(-1{,}5y) = -2{,}25y,
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750 - 2{,}25y + 7y = 1225.
Somar os termos em y:
750 + 4{,}75y = 1225.
Isolar y:
4{,}75y = 1225 - 750 = 475,
y = \dfrac{475}{4{,}75} = 100\\ \text{g}.

Passo 6

Encontrar x substituindo y=100 em x = 500 - 1{,}5y:
x = 500 - 1{,}5\cdot100 = 500 - 150 = 350\\ \text{g}.

Passo 7

Verificação rápida (checar as duas equações originais):
  • Ferro: 0{,}015\cdot350 + 0{,}07\cdot100 = 5{,}25 + 7 = 12{,}25\\ \mathrm{mg} (ok).
  • Zinco: 0{,}02\cdot350 + 0{,}03\cdot100 = 7 + 3 = 10\\ \mathrm{mg} (ok).

Resposta

350 g e 100 g

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