Das 10 alunas de uma classe, 3 são alunas de olhos azuis. Se 3 alunas são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que nenhuma tenha olhos azuis?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 10 alunas na classe.
  • Dessas, 3 têm olhos azuis.
  • Serão escolhidas aleatoriamente 3 alunas (sem ordem, sem reposição).
    A pergunta é: qual a probabilidade de que nenhuma das 3 escolhidas tenha olhos azuis?

Passo 2

Estratégia escolhida (e por quê): vou usar contagem por combinatória (escolhas sem ordem). A ideia é contar o número de subconjuntos de 3 alunas possíveis no total e o número de subconjuntos de 3 alunas que não contêm aluna de olhos azuis; a razão entre esses números é a probabilidade desejada.
Antes de calcular, explico a ferramenta que usarei: combinação.
  • A combinação \binom{n}{k} representa o número de formas de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem.
  • Fórmula: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n \cdot (n-1)\cdots 2\cdot1. Exemplos rápidos: 3! = 6, 4! = 24.

Passo 3

Calcular o número total de maneiras de escolher 3 alunas dentre as 10:
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120.
Expliquei a simplificação: cancelam-se os fatores 7! e escreve-se só o produto dos três maiores termos do numerador.

Passo 4

Calcular o número de maneiras favoráveis (escolher 3 alunas que não têm olhos azuis). Como há 3 com olhos azuis, o número de alunas sem olhos azuis é 10-3=7. O número de maneiras de escolher 3 dentre essas 7 é:
\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!\,4!} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} = 35.

Passo 5

Formar a razão favoráveis / totais (a probabilidade):
\frac{\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}.
Como verificação alternativa (método multiplicativo): a probabilidade de, em sorteios sem reposição, a primeira escolhida não ter olhos azuis é \dfrac{7}{10}, a segunda \dfrac{6}{9} (restam 6 não-azuis entre 9 alunas) e a terceira \dfrac{5}{8}. Multiplicando:
\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}=\frac{7\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}=\frac{210}{720}=\frac{7}{24},
confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{7}{24} \
\approx 0,291666\ldots

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