Das 10 alunas de uma classe, 3 são alunas de olhos azuis. Se 3 alunas são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que nenhuma tenha olhos azuis?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
alunas na classe. - Dessas,
têm olhos azuis. - Serão escolhidas aleatoriamente
alunas (sem ordem, sem reposição).
A pergunta é: qual a probabilidade de que nenhuma dasescolhidas tenha olhos azuis?
Passo 2
Estratégia escolhida (e por quê): vou usar contagem por combinatória (escolhas sem ordem). A ideia é contar o número de subconjuntos de
alunas possíveis no total e o número de subconjuntos de
alunas que não contêm aluna de olhos azuis; a razão entre esses números é a probabilidade desejada.
Antes de calcular, explico a ferramenta que usarei: combinação.
- A combinação
representa o número de formas de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem considerar ordem. - Fórmula:
onde
(fatorial) significa
. Exemplos rápidos:
,
.
Passo 3
Calcular o número total de maneiras de escolher
alunas dentre as
:
Expliquei a simplificação: cancelam-se os fatores
e escreve-se só o produto dos três maiores termos do numerador.
Passo 4
Calcular o número de maneiras favoráveis (escolher
alunas que não têm olhos azuis). Como há
com olhos azuis, o número de alunas sem olhos azuis é
. O número de maneiras de escolher
dentre essas
é:
Passo 5
Formar a razão favoráveis / totais (a probabilidade):
Como verificação alternativa (método multiplicativo): a probabilidade de, em sorteios sem reposição, a primeira escolhida não ter olhos azuis é
, a segunda
(restam
não-azuis entre
alunas) e a terceira
. Multiplicando:
confirmando o resultado.