Suponha que uma comissão de 5 pessoas deva ser escolhida aleatoriamente de 8 homens e 6 mulheres. Se 3 homens devem ser selecionados, qual a probabilidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • 8 homens e 6 mulheres, totalizando 14 pessoas.
  • Será escolhida aleatoriamente uma comissão de 5 pessoas.
  • A condição exigida é que sejam selecionados exatamente 3 homens (logo 2 mulheres).
  • O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, ao escolher uma comissão de 5 pessoas aleatoriamente entre as 14, exatamente 3 sejam homens.

Passo 2

Estratégia de resolução (em palavras simples): contar quantos subconjuntos de 5 pessoas satisfazem a condição desejada (casos favoráveis) e dividir pelo número total de subconjuntos de 5 pessoas possíveis (espaço amostral). Em problemas assim usa-se a noção de combinações (escolhas sem ordem).
A fórmula básica que vamos usar é
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}}.úáúí

Passo 3

Explicando combinações de forma bem didática. A quantidade de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos (sem importar a ordem) é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo rápido: \binom{6}{2} conta quantas duplas diferentes se podem formar a partir de 6 elementos.
No nosso problema:
  • Para escolher exatamente 3 homens entre os 8 disponíveis usamos \binom{8}{3}.
  • Para escolher os 2 restantes entre as 6 mulheres usamos \binom{6}{2}.
  • O número total de comissões de 5 pessoas entre as 14 é \binom{14}{5}.

Passo 4

Calcular \binom{8}{3} passo a passo:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as multiplicações e divisões na ordem conveniente:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=8\cdot7=56.

Passo 5

Calcular \binom{6}{2} passo a passo:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=15.

Passo 6

Número de casos favoráveis: escolher 3 homens e 2 mulheres é independente em contagem (escolhas multiplicam), então
\text{favoráveis}=\binom{8}{3}\cdot\binom{6}{2}=56\cdot15.á
Calculando:
56\cdot15=56\cdot(10+5)=560+280=840.

Passo 7

Número total de comissões possíveis: calcular \binom{14}{5}. Usamos a forma multiplicativa para facilitar:
\binom{14}{5}=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
\text{numerador}=14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10=240240, \qquad \text{denominador}=120,
portanto
\binom{14}{5}=\frac{240240}{120}=2002.

Passo 8

Agora a probabilidade é
P=\frac{\text{favoráveis}}{\text{totais}}=\frac{840}{2002}.á
Vamos simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{840}{2002}=\frac{420}{1001}.
O número 1001 é 7\cdot11\cdot13; dividindo por 7 obtemos
\frac{420}{1001}=\frac{60}{143}.
Verificando: 60 e 143 não têm fatores em comum ( 143=11\cdot13 e 60 não é múltiplo de 11 nem de 13 ), então a fração já está irredutível. Como referência numérica, essa fração é aproximadamente
\frac{60}{143}\approx0{,}4196,
ou seja, cerca de 41{,}96\%.
Força — esse tipo de problema é só contagem cuidadosa: combinações para homens, combinações para mulheres, multiplicar e dividir pelo total.

Resposta

\dfrac{60}{143}

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