Suponha que uma comissão de 5 pessoas deva ser escolhida aleatoriamente de 8 homens e 6 mulheres. Se 3 homens devem ser selecionados, qual a probabilidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Há
homens e mulheres, totalizando pessoas. - Será escolhida aleatoriamente uma comissão de
pessoas. - A condição exigida é que sejam selecionados exatamente
homens (logo mulheres). - O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que, ao escolher uma comissão de
pessoas aleatoriamente entre as , exatamente sejam homens.
Passo 2
Estratégia de resolução (em palavras simples): contar quantos subconjuntos de
pessoas satisfazem a condição desejada (casos favoráveis) e dividir pelo número total de subconjuntos de
pessoas possíveis (espaço amostral). Em problemas assim usa-se a noção de combinações (escolhas sem ordem).
A fórmula básica que vamos usar é
Passo 3
Explicando combinações de forma bem didática. A quantidade de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto com
elementos (sem importar a ordem) é o coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) significa
. Exemplo rápido:
conta quantas duplas diferentes se podem formar a partir de
elementos.
No nosso problema:
- Para escolher exatamente
homens entre os disponíveis usamos . - Para escolher os
restantes entre as mulheres usamos . - O número total de comissões de
pessoas entre as é .
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Fazendo as multiplicações e divisões na ordem conveniente:
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Passo 6
Número de casos favoráveis: escolher
homens e
mulheres é independente em contagem (escolhas multiplicam), então
Calculando:
Passo 7
Número total de comissões possíveis: calcular
. Usamos a forma multiplicativa para facilitar:
Calculando passo a passo:
portanto
Passo 8
Agora a probabilidade é
Vamos simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por
:
O número
é
; dividindo por
obtemos
Verificando:
e
não têm fatores em comum (
e
não é múltiplo de
nem de
), então a fração já está irredutível. Como referência numérica, essa fração é aproximadamente
ou seja, cerca de
.
Força — esse tipo de problema é só contagem cuidadosa: combinações para homens, combinações para mulheres, multiplicar e dividir pelo total.