1. ( 10 \% ) A área de desenvolvimento de novos produtos de um grande latıcinıo esta desenvolvendo um iogurte com adição de extrato hidrossolúvel de soja (EHS). Para tanto, adicionou diferentes concentrações de EHS (8, 10, 12 e 14%) no iogurte de morango e realizou um teste de aceitação com 28 consumidores, utilizando escala hedônica estruturada de 9 pontos, para verificar qual a concentração adicionada obteria maior aceitação junto aos consumidores. Responda as questões abaixo:
Fontes da
variação
G.L. SQ SQM Fcalculado Ftabelado
Amostra 3 455,06
Provador 27 171,76
Resíduo 81
Total 111 1119,56
b) Analisando os resultados do quadro acima, quais as conclusões obtidas?

Passo 1

O enunciado fornece um experimento em que foram avaliadas quatro concentrações de EHS (8%, 10%, 12% e 14%) por 28 consumidores usando escala hedônica de 9 pontos. Cada consumidor avaliou todas as quatro amostras (portanto é um delineamento em blocos completos casualizados, com consumidores como blocos).
Os dados fornecidos na tabela (peguei estes números do enunciado) são:
  • graus de liberdade e somas dos quadrados:
    • Amostra: G.L.=3, SQ=455{,}06.
    • Provador: G.L.=27, SQ=171{,}76.
    • Resíduo: G.L.=81, SQ= (não dado).
    • Total: G.L.=111, SQ=1119{,}56.
O que o item (b) pede: analisar os resultados do quadro e tirar conclusões estatísticas sobre efeitos das amostras (concentrações) e dos provadores (consumidores).

Passo 2

Modelo e hipóteses (breve didática):
  • O modelo de delineamento em blocos completos é
    y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},
    onde \mu é a média geral, \tau_i é o efeito da i-ésima amostra ( i=1,\dots,4), \beta_j é o efeito do j-ésimo provador ( j=1,\dots,28) e \varepsilon_{ij} é o erro experimental (assume-se i.i.d. com média zero e variância \sigma^2).
  • Testes que fazemos:
    • Para amostras (tratamentos): H_0:\tau_1=\tau_2=\tau_3=\tau_4 (nenhuma concentração difere) versus H_a: nem todas as \tau_i iguais.
    • Para provadores (blocos): H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_{28} (nenhum provador difere em seu padrão de notas) versus H_a contrária.
Cálculo da soma de quadrados do resíduo:
SQ_{\text{res}} = SQ_{\text{total}} - SQ_{\text{amostra}} - SQ_{\text{provador}}.
Substituindo os valores (peguei os três SQ na tabela):
SQ_{\text{res}} = 1119{,}56 - 455{,}06 - 171{,}76 = 492{,}74.

Passo 3

Cálculo das médias dos quadrados (SQM ou MS). Fórmula geral:
MS = \frac{SQ}{G.L.}
  • Para Amostra:
MS_{\text{amostra}}=\frac{455{,}06}{3}=151{,}686\overline{6}\approx151{,}69.
  • Para Provador:
MS_{\text{provador}}=\frac{171{,}76}{27}=6{,}362963\ldots\approx6{,}363.
  • Para Resíduo:
MS_{\text{res}}=\frac{492{,}74}{81}=6{,}0832099\ldots\approx6{,}083.

Passo 4

Cálculo das estatísticas F (razão entre MS do efeito e MS_{\text{res}}):
  • Para Amostra:
F_{\text{amostra}}=\frac{MS_{\text{amostra}}}{MS_{\text{res}}} =\frac{151{,}686\overline{6}}{6{,}0832099\ldots}\approx24{,}95.
  • Para Provador:
F_{\text{provador}}=\frac{MS_{\text{provador}}}{MS_{\text{res}}} =\frac{6{,}362963\ldots}{6{,}0832099\ldots}\approx1{,}05.
Interpretação prática: F_{\text{amostra}} muito maior que 1; F_{\text{provador}} muito próximo de 1.

Passo 5

Decisão com base em nível de significância usual \alpha=0{,}05 (explicando a regra):
  • Rejeita-se H_0 para um efeito se F_{\text{calculado}}>F_{(\nu_1,\nu_2),\,\alpha}, onde \nu_1 é o G.L. do efeito e \nu_2 é o G.L. do resíduo.
Valores críticos aproximados (tabela F):
  • Para Amostra: F_{(3,81),\,0{,}05}\approx2{,}72.
  • Para Provador: F_{(27,81),\,0{,}05}\approx1{,}60 (valor aproximado de tabela).
Comparando:
  • F_{\text{amostra}}\approx24{,}95 > 2{,}72 → rejeita-se H_0 para amostras: há diferença significativa entre as concentrações.
  • F_{\text{provador}}\approx1{,}05 < 1{,}60 → não se rejeita H_0 para provadores: não há evidência de diferenças sistemáticas entre provadores.

Passo 6

Análise da proporção da variação explicada (útil para interpretar magnitude dos efeitos):
\%\\ \text{variação por amostra}=\frac{455{,}06}{1119{,}56}\times100\%=40{,}66\%.çã
\%\\ \text{variação por provador}=\frac{171{,}76}{1119{,}56}\times100\%=15{,}35\%.çã
\%\\ \text{variação residual}=\frac{492{,}74}{1119{,}56}\times100\%=44{,}00\%.çã
Interpretação intuitiva: cerca de 40{,}7\% da variação nas notas é explicada pelas diferenças entre concentrações; os provadores explicam \sim15{,}3\%; ainda resta \sim44\% de variação não explicada (erro).

Passo 7

Conclusões práticas e recomendação para a empresa (didática e motivadora):
  • Conclusão estatística: existe efeito significativo das concentrações de EHS sobre a aceitação (portanto pelo menos uma concentração difere das outras). Não houve efeito significativo entre os provadores (ou seja, não são consumidores com respostas sistematicamente diferentes ao longo do bloco).
  • O fato de amostras serem significativas é boa notícia: a concentração realmente altera a aceitação — agora é preciso saber qual concentração foi melhor.
  • Para identificar quais concentrações diferem entre si é preciso fazer um teste múltiplo de comparações (por exemplo, Tukey ou diferenças significativas entre médias); como não foram fornecidas as médias das amostras, não é possível aqui dizer qual concentração obteve maior aceitação. Recomenda-se calcular as médias amostrais e aplicar um procedimento de comparações múltiplas para escolher a melhor concentração com suporte estatístico.

Resposta

Rejeita-se H_0 para Amostra: existe diferença significativa entre as concentrações ( F_{\text{amostra}}\approx24{,}95, p<0{,}05).
Não se rejeita H_0 para Provador: não há diferença significativa entre provadores ( F_{\text{provador}}\approx1{,}05, p>0{,}05).

Exercícios relacionados