1. ( 10 \% ) A área de desenvolvimento de novos produtos de um grande latıcinıo esta desenvolvendo um iogurte com adição de extrato hidrossolúvel de soja (EHS). Para tanto, adicionou diferentes concentrações de EHS (8, 10, 12 e 14%) no iogurte de morango e realizou um teste de aceitação com 28 consumidores, utilizando escala hedônica estruturada de 9 pontos, para verificar qual a concentração adicionada obteria maior aceitação junto aos consumidores. Responda as questões abaixo:
AMOSTRAS MÉDIAS
8 \% 8,31
10 \% 6,81
12 \% 5,97
14 \% 5,67
c)Realize o teste de médias mais adequado e indique suas conclusões.

Passo 1

O enunciado dá quatro amostras com as médias das notas (escala hedônica de 9 pontos) obtidas por 28 consumidores que avaliaram iogurtes com diferentes concentrações de EHS:
  • Amostra 8\%: média 8,31.
  • Amostra 10\%: média 6,81.
  • Amostra 12\%: média 5,97.
  • Amostra 14\%: média 5,67.
A pergunta (c) pede: “Realize o teste de médias mais adequado e indique suas conclusões.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Médias de cada tratamento.
  • Número de consumidores (observações por tratamento) b=28 (interpretei que cada consumidor avaliou todas as amostras, pois isto é típico em testes hedônicos).
  • Não foram fornecidos os escores individuais nem as variâncias/desvios-padrão por amostra.

Passo 2

Escolha do teste (motivo e justificativa, sem cálculo ainda).
Porque o enunciado não impõe um método, seguimos o algoritmo sugerido:
  • É muito provável que cada consumidor tenha avaliado todas as amostras (ou seja, temos medidas pareadas / blocos = consumidores).
  • A escala hedônica de 9 pontos é uma escala ordinal (as notas são ordenadas, mas a suposição de distância igual entre pontos é discutível). Para dados ordinais com blocos (mesmos avaliadores), o teste não-paramétrico de Friedman é o mais apropriado porque:
    • leva em conta o bloqueio (consumidores como blocos),
    • não exige normalidade ou homocedasticidade,
    • usa as posições (ranks) dentro de cada bloco, apropriado para escalas hedônicas.
Portanto o teste mais adequado aqui é o teste de Friedman (teste não-paramétrico para k tratamentos em blocos). Se, em vez disso, o professor aceitar hipótese de métrica intervalar e normalidade, poderia ser usada ANOVA de blocos (ANOVA de medidas repetidas / delineamento em blocos completos randomizados). Vou desenvolver o procedimento completo do teste de Friedman (e, a título de comparação, descrever o ANOVA de blocos) para você entender como aplicar na prova.

Passo 3

O teste de Friedman — ideia e passo a passo (aula curta e fórmula).
Intuição:
  • Para cada consumidor (bloco) ordena-se (faz-se ranks) as notas das k amostras avaliadas por esse consumidor.
  • Soma-se os ranks de cada tratamento ao longo dos b consumidores.
  • Se não houver diferença entre tratamentos, as somas de ranks serão próximas; se houver diferença, algumas amostras terão somas de ranks sistematicamente maiores.
Notação e fórmulas:
  • k = número de tratamentos (aqui k=4).
  • b = número de blocos/consumidores (aqui b=28).
  • r_{ij} = rank da amostra j no bloco i (ranks vão de 1 a k dentro de cada bloco; em caso de empates, usa-se rank médio).
  • R_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{b} r_{ij} = soma dos ranks da amostra j ao longo dos b blocos.
A estatística de Friedman (approx.) é
\chi^2_F \;=\; \frac{12}{b k (k+1)}\sum_{j=1}^{k} R_j^2 \;-\; 3b(k+1).
Significado das partes:
  • \sum_{j=1}^{k} R_j^2 é a soma dos quadrados das somas de ranks por tratamento.
  • O fator \frac{12}{b k (k+1)} normaliza.
  • Subtrai-se 3b(k+1) para centralizar a estatística.
Decisão:
  • Para b razoavelmente grande, sob H_0 (nenhuma diferença entre tratamentos), \chi^2_F é aproximadamente distribuída como \chi^2 com k-1 graus de liberdade.
  • Rejeita-se H_0 se \chi^2_F > \chi^2_{k-1,\,1-\alpha} (por exemplo, com \alpha=0,05).
  • Em presença de muitos empates, aplica-se correção por empates (fórmula de correção para variância das ranks); em geral softwares fazem isso automaticamente.
Como proceder na prova (passos práticos):
  1. Para cada consumidor i=1,\dots,b, ordene as 4 notas e atribua ranks 1 (pior) a 4 (melhor). Se houver empates, atribua o rank médio aos empates.
  2. Calcule R_j para cada amostra j somando os ranks vindos de todos os consumidores.
  3. Calcule \chi^2_F pela fórmula acima.
  4. Compare com \chi^2_{k-1,1-\alpha}. Para k=4 e \alpha=0,05, o valor crítico é \chi^2_{3,0{,}95}\approx 7,815.
  5. Se rejeitar H_0, faça comparações múltiplas (post-hoc), por exemplo:
    • Teste de Nemenyi: dois tratamentos j e j' diferem se
    | \overline{R}_j - \overline{R}_{j'} | > \text{CD},onde \overline{R}_j = R_j / b e a diferença crítica é \text{CD} = q_{\alpha}\sqrt{\frac{k(k+1)}{6b}}.Aqui q_{\alpha} é valor crítico da distribuição studentized range dividido por \sqrt{2} (tabelas para Nemenyi ou uso de software); alternativa prática: fazer pares por Wilcoxon sign-rank com correção de Bonferroni.
  6. Relate resultados: quais amostras diferem e qual é a melhor.

Passo 4

Correção por empates e observações práticas
Empates:
  • Se em algum bloco houve notas iguais entre duas ou mais amostras, ao fazer ranks use rank médio e inclua correção por empates ao calcular a estatística exata; isso requer a soma dos quadrados dos comprimentos de grupos empatados. Em prova, se pedirem cálculo manual, normalmente não há muitos empates ou o enunciado fornece os dados.
Quando usar ANOVA de blocos (paramétrica):
  • Se se aceita tratar a escala hedônica como intervalar e se há razoável normalidade dos resíduos, a ANOVA em blocos (two-way without interaction) pode ser usada. Nesse caso:
    • Soma total de quadrados: SS_T=\sum_{i,j} (x_{ij}-\bar{x}_{\cdot\cdot})^2.
    • Soma de quadrados dos tratamentos: SS_{tr} = b\sum_{j} (\bar{x}_{\cdot j}-\bar{x}_{\cdot\cdot})^2.
    • Soma de quadrados dos blocos: SS_{bl} = k\sum_{i} (\bar{x}_{i\cdot}-\bar{x}_{\cdot\cdot})^2.
    • Erro residual: SS_E = SS_T - SS_{tr} - SS_{bl}.
    • Estatística F = \dfrac{MS_{tr}}{MS_E} com df_{tr}=k-1 e df_E=(k-1)(b-1).
  • Para fazer isso precisa dos escores individuais para calcular médias por bloco, médias por tratamento e SS. Sem esses dados não se pode calcular.

Passo 5

Exemplo numérico didático e curto (ilustrativo) — como aplicar Friedman com dados concretos
Suponha um mini-exemplo com b=3 consumidores e k=4 tratamentos; notas hipotéticas (apenas para ilustrar o mecanismo de cálculo):
Blocos (consumidores) e notas:
  • Consumidor 1: amostras A,B,C,D = 8, 6, 5, 7.
  • Consumidor 2: amostras A,B,C,D = 9, 7, 6, 8.
  • Consumidor 3: amostras A,B,C,D = 7, 5, 4, 6.
Passo a passo:
  1. Ranks por bloco (maior nota recebe rank 4, menor recebe 1):
    • Bloco 1 ranks: A=4, B=2, C=1, D=3.
    • Bloco 2 ranks: A=4, B=2, C=1, D=3.
    • Bloco 3 ranks: A=4, B=2, C=1, D=3.
  2. Somar ranks por tratamento: R_A=12,\; R_B=6,\; R_C=3,\; R_D=9.
  3. Calcular \chi^2_F:
\chi^2_F = \frac{12}{b k (k+1)}\sum R_j^2 - 3b(k+1) = \frac{12}{3\cdot4\cdot5}(12^2+6^2+3^2+9^2) - 3\cdot3\cdot5.
Calculemos:
12^2+6^2+3^2+9^2 = 144+36+9+81 = 270.
\frac{12}{60}\cdot 270 = \frac{12\cdot270}{60} = \frac{3240}{60} = 54.
\chi^2_F = 54 - 45 = 9.
  1. Graus de liberdade k-1=3. Valor crítico para \alpha=0,05 é \chi^2_{3,0{,}95}\approx 7{,}815. Como 9>7{,}815, rejeitamos H_0 e concluímos que existe diferença entre amostras (neste exemplo hipotético).
  2. Em seguida faríamos post-hoc para saber quais pares diferem.
Esse exemplo mostra claramente como construir ranks, somar R_j, calcular \chi^2_F e interpretar.

Passo 6

Por que não posso calcular o teste com os dados fornecidos no enunciado e qual é a conclusão prática
O enunciado só fornece as médias por tratamento e o número de consumidores b=28. Para executar o teste de Friedman (ou a ANOVA de blocos) é imprescindível ter:
  • os escores individuais x_{ij} (ou, alternativamente, as somas dos ranks R_j já calculadas por bloco) — necessários para Friedman;
  • ou as variâncias / somas de quadrados e médias por bloco e tratamento — necessários para ANOVA.
Sem os escores individuais (ou, ao menos, as somas de ranks ou as somas de quadrados), não é possível computar \chi^2_F nem a estatística F. Portanto não há como realizar numericamente o teste pedido e não há como afirmar se as diferenças nas médias são estatisticamente significativas.
Observação prática e recomendação:
  • Se o objetivo é apenas escolher a amostra com maior média, a amostra 8\% tem a maior média ( 8,31). Mas isso não substitui um teste estatístico: não sabemos se essa diferença em relação às outras é estatisticamente significativa.
  • Para concluir estatisticamente, peça ao professor (ou recupere do experimento) os escores individuais dos 28 consumidores para as quatro amostras. Com esses dados é trivial aplicar o procedimento de Friedman descrito acima (ou ANOVA de blocos, se for aceitável tratar a escala como intervalar).
  • Nível de significância típico: \alpha=0{,}05. Em caso de teste significativo, usar Nemenyi ou Wilcoxon pareado (com correção) para post-hoc.

Passo 7

Resumo final e sugestão prática para a prova (o que escrever se for cobrado sem mais dados)
  • Declare o teste escolhido e por quê: “Uso do teste de Friedman porque as avaliações são pareadas (mesmos consumidores) e a escala hedônica é ordinal.”
  • Explique que, para calcular, é preciso os escores individuais; sem eles não é possível apresentar a estatística nem tomar decisão.
  • Apresente a conclusão provisória baseada em médias: “A amostra 8\% apresentou a maior média ( 8,31), mas não posso afirmar que é estatisticamente superior às demais sem os escores individuais (ou medidas de variabilidade).”

Resposta

Teste recomendado: teste de Friedman (não-paramétrico para medidas pareadas); não é possível calcular a estatística e decidir sobre significância porque faltam os escores individuais (ou as somas de ranks / variâncias). Com base apenas nas médias, a amostra 8\% apresenta maior aceitação (média 8,31), mas não se pode afirmar que a diferença seja estatisticamente significativa sem os dados completos.

Exercícios relacionados