1. ( 10 \% ) A área de desenvolvimento de novos produtos de um grande latıcinıo esta desenvolvendo um iogurte com adição de extrato hidrossolúvel de soja (EHS). Para tanto, adicionou diferentes concentrações de EHS (8, 10, 12 e 14%) no iogurte de morango e realizou um teste de aceitação com 28 consumidores, utilizando escala hedônica estruturada de 9 pontos, para verificar qual a concentração adicionada obteria maior aceitação junto aos consumidores. Responda as questões abaixo:
Fontes da
variação
G.L. SQ SQM Fcalculado Ftabelado
Amostra 3 455,06
Provador 27 171,76
Resíduo 81
Total 111 1119,56
a) Complete o quadro de análise de variância.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede completar o quadro da análise de variância (ANOVA) para o experimento.
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Número de tratamentos (amostras): 4 (concentrações de EHS: 8\%,10\%,12\%,14\%).
    • Número de provadores (blocos): 28.
    • Observações totais: 4\times28=112.
    • Graus de liberdade fornecidos na tabela:
      • Amostra (tratamentos): \text{GL}=3.
      • Provador (blocos): \text{GL}=27.
      • Resíduo: \text{GL}=81.
      • Total: \text{GL}=111.
    • Somatórios dos quadrados (SQ) fornecidos:
      • Amostra: \text{SQ}=455{,}06.
      • Provador: \text{SQ}=171{,}76.
      • Total: \text{SQ}=1119{,}56.
O objetivo agora é calcular o \text{SQ} faltante (resíduo), as médias dos quadrados ( \text{SQM}), os valores de F calculados e os F tabelados (ao nível usual \alpha=0{,}05), e preencher a tabela completa.

Passo 2

Relações fundamentais da ANOVA (explicando cada símbolo) e cálculo do \text{SQ} do resíduo.
  • Relação de decomposição dos quadrados totais: \text{SQ}_{\text{Total}}=\text{SQ}_{\text{Amostra}}+\text{SQ}_{\text{Provador}}+\text{SQ}_{\text{Resíduo}}.íAqui:
    • \text{SQ}_{\text{Total}} é a soma total dos quadrados (variabilidade total).
    • \text{SQ}_{\text{Amostra}} é a soma dos quadrados devido aos tratamentos (diferença entre médias das amostras).
    • \text{SQ}_{\text{Provador}} é a soma dos quadrados devido aos provadores (efeito bloco).
    • \text{SQ}_{\text{Resíduo}}í é a soma dos quadrados de erro (variação não explicada).
  • Calcula-se \text{SQ}_{\text{Resíduo}}í isolando na equação: \text{SQ}_{\text{Resíduo}}=\text{SQ}_{\text{Total}}-\text{SQ}_{\text{Amostra}}-\text{SQ}_{\text{Provador}}.íSubstituindo os valores (todos dados em ): \text{SQ}_{\text{Resíduo}}=1119{,}56-455{,}06-171{,}76=492{,}74.í

Passo 3

Cálculo das médias dos quadrados ( \text{SQM}) e interpretação.
  • Fórmula geral: \text{SQM}_{\text{fonte}}=\frac{\text{SQ}_{\text{fonte}}}{\text{GL}_{\text{fonte}}}.Explicando: a média do quadrado é a soma dos quadrados dividida pelos graus de liberdade correspondentes; é uma estimativa da variância associada àquela fonte.
  • Calculando para cada fonte (vou mostrar conta):
    • Para Amostra: \text{SQM}_{\text{Amostra}}=\frac{455{,}06}{3}=151{,}686666\ldots \approx 151{,}6867.
    • Para Provador: \text{SQM}_{\text{Provador}}=\frac{171{,}76}{27}=6{,}3637037\ldots \approx 6{,}3637.
    • Para Resíduo: \text{SQM}_{\text{Resíduo}}=\frac{492{,}74}{81}=6{,}081234567\ldots \approx 6{,}0812.í
  • Interpretação rápida: \text{SQM}_{\text{Resíduo}}í é a estimativa da variância experimental (ruído); \text{SQM}_{\text{Amostra}} compara-se com ela para testar se há efeito real dos tratamentos.

Passo 4

Cálculo dos F calculados e explicação do teste.
  • Regra do teste F na ANOVA em bloco: para testar efeito de tratamentos usa-se F_{\text{Amostra}}=\frac{\text{SQM}_{\text{Amostra}}}{\text{SQM}_{\text{Resíduo}}}.íPara testar efeito de provador (bloco) usa-se F_{\text{Provador}}=\frac{\text{SQM}_{\text{Provador}}}{\text{SQM}_{\text{Resíduo}}}.íExplicação: compara-se a variabilidade explicada pela fonte com a variabilidade residual; se a razão for grande, o efeito é significativo.
  • Substituindo os números:
    • Para Amostra: F_{\text{Amostra}}=\frac{151{,}686666\ldots}{6{,}081234567\ldots}=24{,}95\\ (\text{aprox.}).
    • Para Provador: F_{\text{Provador}}=\frac{6{,}3637037\ldots}{6{,}081234567\ldots}=1{,}046\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Valores críticos ( F tabelado) e decisão (nível \alpha=0{,}05).
  • Os valores tabelados são obtidos em uma tabela F (distribuição F) para \alpha=0{,}05.
    • Para o teste de Amostra, os graus de liberdade são \text{GL}_1=3 e \text{GL}_2=81. O valor crítico é aproximadamente F_{0{,}05;\,3,81}\approx 2{,}72.
    • Para o teste de Provador, os graus de liberdade são \text{GL}_1=27 e \text{GL}_2=81. O valor crítico é aproximadamente F_{0{,}05;\,27,81}\approx 1{,}56.
  • Regra de decisão:
    • Se F_{\text{calculado}}>F_{\text{tabelado}} rejeita-se a hipótese nula (efeito significativo).
  • Aplicando:
    • Para Amostra: 24{,}95>2{,}72 ⇒ efeito da concentração de EHS é significativo (há diferença entre as amostras).
    • Para Provador: 1{,}046<1{,}56 ⇒ efeito do provador (diferenças entre consumidores) não é significativo ao nível 5\%.

Passo 6

Resumo numérico final pronto para preencher a tabela (organizado e pronto para copiar).
  • Calculados (aproximações com 4 casas decimais nos quadros de médias dos quadrados):
    • \text{SQ}_{\text{Resíduo}}=492{,}74í.
    • \text{SQM}_{\text{Amostra}}=151{,}6867.
    • \text{SQM}_{\text{Provador}}=6{,}3637.
    • \text{SQM}_{\text{Resíduo}}=6{,}0812í.
    • F_{\text{Amostra}}=24{,}95.
    • F_{\text{Provador}}=1{,}046.
    • Valores críticos aproximados: F_{0{,}05;\,3,81}\approx2{,}72 e F_{0{,}05;\,27,81}\approx1{,}56.

Resposta

Amostra\quad GL 3 \quad SQ 455{,}06 \quad SQM 151{,}6867 \quad Fcalculado 24{,}95 \quad Ftabelado 2{,}72
Provador\quad GL 27 \quad SQ 171{,}76 \quad SQM 6{,}3637 \quad Fcalculado 1{,}046 \quad Ftabelado 1{,}56
Resíduo\quad GL 81 \quad SQ 492{,}74 \quad SQM 6{,}0812
Total\quad GL 111 \quad SQ 1119{,}56

Exercícios relacionados