1.10.5 Avalie
\frac{1}{3} \int_{s} \mathbf{r} \cdot d \boldsymbol{\sigma}
sobre o cubo unitário definido pelo ponto (0,0,0) e as interceptações unitárias sobre os eixos x, y e z positivos. Note que (a) \mathbf{r} \cdot d \sigma é zero para três das superfícies e (b) cada uma das três superfícies restantes contribui com a mesma quantidade para a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{1}{3}\int_{S}\mathbf{r}\cdot d\boldsymbol{\sigma}
sobre o cubo unitário com vértices em (0,0,0) e em (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Aqui \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição e d\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{n}\,dS é o vetor área orientado para fora. O conteúdo envolve integral de fluxo de um campo vetorial.

Passo 2

Identificamos as seis faces do cubo e seus vetores normais unitários:
– Face em x=0: \mathbf{n}=(-1,0,0) e 0\le y,z\le1.
– Face em x=1: \mathbf{n}=(1,0,0) e 0\le y,z\le1.
As faces em y=0, y=1, z=0 e z=1 têm normas semelhantes nos eixos correspondentes.

Passo 3

Verificamos que nas faces em x=0, y=0 e z=0 o produto \mathbf{r}\cdot\mathbf{n} é zero porque em cada uma delas uma componente de \mathbf{r} é nula e essa componente é justamente a direção do normal. Logo essas três superfícies não contribuem para a integral.

Passo 4

Agora calculamos a contribuição de cada uma das três faces remanescentes (em x=1, y=1, z=1). Por exemplo, na face x=1 temos
\mathbf{r}=(1,y,z),\quad \mathbf{n}=(1,0,0)
logo
\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=1,
e
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}1\,dy\,dz=1.
Pelas simetria, as faces y=1 e z=1 também dão contribuição igual a 1 cada.

Passo 5

Somando as três contribuições não nulas, o fluxo total é
\int_{S}\mathbf{r}\cdot d\boldsymbol{\sigma}=1+1+1=3.
Multiplicando por \tfrac{1}{3} vem
\frac{1}{3}\int_{S}\mathbf{r}\cdot d\boldsymbol{\sigma}=1.

Resposta

1

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