1.10.4 Avalie \oint \mathbf{r} \cdot d \mathbf{r}.
Nota: O símbolo \oint significa que o trajeto de integração é um circuito fechado.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral de linha fechada
\oint \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{r} é o vetor posição no plano (ou no espaço). O conteúdo envolvido é integral de linha e identificação de campos conservativos usando diferenciação de escalares.

Passo 2

Escrevemos o integrando de forma escalar: \mathbf{r} = x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} (ou incluindo z\,\mathbf{k} se for no espaço) e \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = x\,dx + y\,dy (e +z\,dz no espaço).

Passo 3

Reconhecemos que
\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = \tfrac12\,d(x^2+y^2)
(por extensão no espaço seria \tfrac12\,d(x^2+y^2+z^2)). Isso vem de
d(x^2+y^2) = 2x\,dx + 2y\,dy.

Passo 4

Substituindo na integral fechada fica
\oint \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = \tfrac12\oint d(x^2+y^2).
Como é um circuito fechado, a variação total de x^2+y^2 retorna ao valor inicial, logo
\oint d(x^2+y^2)=0.

Resposta

\oint \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = 0.

Exercícios relacionados