1.10.5 Avalie
sobre o cubo unitário definido pelo ponto
e as interceptações unitárias sobre os eixos
e
positivos. Note que (a)
é zero para três das superfícies e (b) cada uma das três superfícies restantes contribui com a mesma quantidade para a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sobre o cubo unitário com vértices em
e em
,
,
. Aqui
é o vetor posição e
é o vetor área orientado para fora. O conteúdo envolve integral de fluxo de um campo vetorial.
Passo 2
Identificamos as seis faces do cubo e seus vetores normais unitários:
– Face em :
e
.
– Face em :
e
.
As faces em ,
,
e
têm normas semelhantes nos eixos correspondentes.
– Face em
– Face em
As faces em
Passo 3
Verificamos que nas faces em
,
e
o produto
é zero porque em cada uma delas uma componente de
é nula e essa componente é justamente a direção do normal. Logo essas três superfícies não contribuem para a integral.
Passo 4
Agora calculamos a contribuição de cada uma das três faces remanescentes (em
,
,
). Por exemplo, na face
temos
logo
e
Pelas simetria, as faces
e
também dão contribuição igual a
cada.
Passo 5
Somando as três contribuições não nulas, o fluxo total é
Multiplicando por
vem